Poševnohermitska matrika

Poševnohermitska matrika (tudi antihermitska) je kvadratna matrika s kompleksnimi elementi, katere konjugirano transponirana matrika je enaka njeni negativni vrednosti:

${\displaystyle A^{\dagger }=-A\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle A^{\dagger }\,}$ konjugirano transponirana matrika matrike ${\displaystyle A\,}$.

To lahko zapišemo tudi kot:

${\displaystyle a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle a_{ij}\,}$ element iz matrike ${\displaystyle A\,}$
• zgornja črtica pomeni konjugacijo elementa ${\displaystyle a_{ij}\,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{bmatrix}\!\,.}$

• lastne vrednosti poševnohermitske matrike so imaginarne
• poševnohermitske matrike so normalne, torej jih lahko diagonaliziramo, njihovi lastni vektorji pa so za različne vrednosti ortogonalni.
• Elementi na glavni diagonali so samo imaginarni (brez realnega dela)
• če sta matriki ${\displaystyle A\,}$ in ${\displaystyle B\,}$ poševnohermitski, potem je tudi matrika ${\displaystyle aA+bB\,}$ poševnohermitska za realna skalarja ${\displaystyle a\,}$ in ${\displaystyle b\,}$
• če je matrika ${\displaystyle A\,}$ poševnohermitska, potem je matrika ${\displaystyle iA\,}$ hermitska
• če je matrika ${\displaystyle A\,}$ poševnohermitska, potem je matrika ${\displaystyle A^{k}\,}$ hermitska, če je k sodo celo število, in poševno hermitska, če je k liho celo število
• če je ${\displaystyle C\,}$ poljubna kvadratna matrika, potem jo lahko zapišemo kot vsoto hermitske matrike ${\displaystyle A\,}$ in poševnohermitske matrike ${\displaystyle B\,}$ tako, da je ${\displaystyle C=A+B\,}$ in

da velja

${\displaystyle A={\frac {1}{2}(C+C^{\dagger })\,}$ in ${\displaystyle \quad B={\frac {1}{2}(C-C^{\dagger })\,}$

• Če je ${\displaystyle A\,}$ poševnohermitska matrika, potem je ${\displaystyle e^{A}\,}$ unitarna matrika.
• prostor poševnohermitskih matrik tvori Liejevo algebro in Liejevo grupo ${\displaystyle U(n)\,}$

• hermitska matrika
• seznam vrst matrik

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Antihermitian Matrix«. MathWorld.