Odwrotna transformata Laplace’a

Odwrotna transformata Laplace’a funkcji ${\displaystyle F(s)}$ – funkcja ${\displaystyle f(t),}$ która posiada następującą własność:

${\displaystyle {\mathcal {L}\left\{f(t)\right\}=F(s),}$

gdzie ${\displaystyle {\mathcal {L}$ jest transformatą Laplace’a. Odwrotną transformację Laplace’a zapisuje się często w postaci:

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}^{-1}\left\{F(s)\right\}.}$

Transformata Laplace’a i odwrotna transformata Laplace’a mają wiele użytecznych właściwości dla systemów liniowych.

Odwrotną transformatę Laplace’a otrzymuje się wykonując następujące całkowanie w polu zespolonym:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi i}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)\,e^{st}\,ds,\quad t>0,}$

gdzie liczbę rzeczywistą ${\displaystyle c}$ dobiera się tak, aby wszystkie punkty osobliwe funkcji podcałkowej leżały po lewej stronie prostej ${\displaystyle \mathrm {Re} \{s\}=c.}$

Niekiedy w literaturze przedmiotu używa się także określenia odwrotna transformata Mellina lub odwrotna transformata Mellina-Bromwicha.

• analiza zespolona

• A.D. Polyanin, A.V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton 1998, ISBN 0-8493-2876-4.
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.