Szereg Fouriera – szereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową , spełniającą warunki Dirichleta , na sumę funkcji trygonometrycznych . Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera . Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce , teorii drgań oraz przetwarzaniu sygnałów obrazu (kompresja jpeg ) i dźwięku (kompresja mp3 )[1] .
Zbieżność szeregu Fouriera udowodnił Dirichlet w 1829 [2] .
Definicja
Niech dana będzie funkcja okresowa
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
o okresie
T
∈
R
+
,
{\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{+},}
bezwzględnie całkowalna w przedziale
[
−
T
2
,
T
2
]
.
{\displaystyle \left[{\frac {-T}{2},{\frac {T}{2}\right].}
Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji
f
{\displaystyle f}
nazywamy szereg funkcyjny następującej postaci:
S
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
cos
(
2
n
π
T
x
)
+
b
n
sin
(
2
n
π
T
x
)
)
{\displaystyle S(x)={\frac {a_{0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left({\frac {2n\pi }{T}x\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2n\pi }{T}x\right)\right)}
(1.1)
o współczynnikach określonych następującymi wzorami:
a
n
=
2
T
∫
−
T
2
T
2
f
(
x
)
cos
(
2
n
π
T
x
)
d
x
,
n
=
0
,
1
,
2
,
…
,
{\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}\int \limits _{-{\frac {T}{2}^{\frac {T}{2}f(x)\cos \left({\frac {2n\pi }{T}x\right)dx,\quad n=0,1,2,\dots ,}
(1.2)
b
n
=
2
T
∫
−
T
2
T
2
f
(
x
)
sin
(
2
n
π
T
x
)
d
x
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}\int \limits _{-{\frac {T}{2}^{\frac {T}{2}f(x)\sin \left({\frac {2n\pi }{T}x\right)dx,\quad n=1,2,3,\dots }
(1.3)
Powyższe wzory po raz pierwszy ujrzały światło dzienne w pracach Jeana-Baptiste Josepha Fouriera . Niemniej jednak po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Z tego względu wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera [3] .
W fizyce i technice często spotykane jest następujące oznaczenie (
T
{\displaystyle T}
oznacza okres funkcji)
ω
=
2
π
T
.
{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}.\ {}
ω
{\displaystyle \omega }
nosi nazwę pulsacji lub częstości kołowej . Przy zastosowaniu takiego oznaczenia powyższe wzory przyjmują postać:
S
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
cos
(
n
ω
x
)
+
b
n
sin
(
n
ω
x
)
)
,
{\displaystyle S(x)={\frac {a_{0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left(n\omega x\right)+b_{n}\sin \left(n\omega x\right)\right),}
(1.1a)
a
n
=
2
T
∫
−
T
2
T
2
f
(
x
)
cos
(
n
ω
x
)
d
x
,
n
=
0
,
1
,
2
,
…
,
{\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}\int \limits _{-{\frac {T}{2}^{\frac {T}{2}f(x)\cos \left(n\omega x\right)dx,\quad n=0,1,2,\dots ,}
(1.2a)
b
n
=
2
T
∫
−
T
2
T
2
f
(
x
)
sin
(
n
ω
x
)
d
x
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}\int \limits _{-{\frac {T}{2}^{\frac {T}{2}f(x)\sin \left(n\omega x\right)dx,\quad n=1,2,3,\dots }
(1.3a)
Własności
Aproksymacja fali prostokątnej szeregiem Fouriera
Aproksymacja fali piłokształtnej szeregiem Fouriera
Aproksymacja fali trójkątnej szeregiem Fouriera
Poniższe twierdzenia dot. rozwijalności funkcji w szereg Fouriera. W dalszym ciągu zakładamy, że okres funkcji wynosi 2T.
Lemat I (całki pomocnicze)
n
{\displaystyle n}
jest liczbą całkowitą
∫
−
T
T
cos
n
ω
x
d
x
=
{
0
gdy
n
≠
0
2
T
gdy
n
=
0
,
{\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega xdx=\left\{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}~~n\neq 0\\&2T&&{\text{gdy}~~n=0\end{aligned}\right.,}
∫
−
T
T
sin
n
ω
x
d
x
=
0.
{\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\sin n\omega xdx=0.}
m
,
n
{\displaystyle m,\ n}
są liczbami naturalnymi
∫
−
T
T
cos
n
ω
x
cos
m
ω
x
d
x
=
{
0
gdy
n
≠
m
T
gdy
n
=
m
,
{\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x\cos m\omega xdx=\left\{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}~~n\neq m\\&T&&{\text{gdy}~~n=m\end{aligned}\right.,}
∫
−
T
T
sin
n
ω
x
sin
m
ω
x
d
x
=
{
0
gdy
n
≠
m
T
gdy
n
=
m
,
{\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\sin n\omega x\sin m\omega xdx=\left\{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}~~n\neq m\\&T&&{\text{gdy}~~n=m\end{aligned}\right.,}
∫
−
T
T
sin
n
ω
x
cos
m
ω
x
d
x
=
0.
{\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\sin n\omega x\cos m\omega xdx=0.}
Lemat II
1
2
+
∑
n
=
1
N
cos
n
α
=
sin
(
N
+
1
2
)
α
2
sin
1
2
α
{\displaystyle {\frac {1}{2}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha ={\frac {\sin \left(N+{\frac {1}{2}\right)\alpha }{2\sin {\frac {1}{2}\alpha }
Dowód
1
2
+
∑
n
=
1
N
cos
n
α
=
ℜ
(
−
1
2
+
∑
n
=
0
N
e
i
n
α
)
=
ℜ
(
−
1
2
+
1
−
e
i
(
N
+
1
)
α
1
−
e
i
α
)
=
−
1
2
+
1
|
1
−
e
i
α
|
2
ℜ
(
(
1
−
e
i
(
N
+
1
)
α
)
(
1
−
e
−
i
α
)
)
=
−
1
2
+
1
(
1
−
cos
α
)
2
+
sin
2
α
ℜ
(
1
−
e
−
i
α
−
e
i
(
N
+
1
)
α
+
e
i
N
α
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\;{\frac {1}{2}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha \\=&\ \Re \left(-{\frac {1}{2}+\sum _{n=0}^{N}e^{in\alpha }\right)\\=&\ \Re \left(-{\frac {1}{2}+{\frac {1-e^{i(N+1)\alpha }{1-e^{i\alpha }\right)\\=&-{\frac {1}{2}+{\frac {1}{|1-e^{i\alpha }|^{2}\Re ((1-e^{i(N+1)\alpha })(1-e^{-i\alpha }))\\=&-{\frac {1}{2}+{\frac {1}{(1-\cos \alpha )^{2}+\sin ^{2}\alpha }\Re (1-e^{-i\alpha }-e^{i(N+1)\alpha }+e^{iN\alpha })\end{aligned}
więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):
1
2
+
∑
n
=
1
N
cos
n
α
=
−
1
2
+
1
−
cos
α
−
cos
(
N
+
1
)
α
+
cos
N
α
2
(
1
−
cos
α
)
=
cos
N
α
−
cos
(
N
+
1
)
α
2
(
1
−
cos
α
)
=
2
sin
(
N
+
1
2
)
α
sin
1
2
α
4
sin
2
1
2
α
=
sin
(
N
+
1
2
)
α
2
sin
1
2
α
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha \\=&-{\frac {1}{2}+{\frac {1-\cos \alpha -\cos(N+1)\alpha +\cos N\alpha }{2(1-\cos \alpha )}\\=&\;{\frac {\cos N\alpha -\cos(N+1)\alpha }{2(1-\cos \alpha )}\\=&\;{\frac {2\sin \left(N+{\frac {1}{2}\right)\alpha \sin {\frac {1}{2}\alpha }{4\sin ^{2}{\frac {1}{2}\alpha }\\=&\;{\frac {\sin \left(N+{\frac {1}{2}\right)\alpha }{2\sin {\frac {1}{2}\alpha }\end{aligned}
q. e. d.
Lemat III
Jeżeli
f
{\displaystyle f}
jest funkcją ciągłą w przedziale
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to
lim
n
→
∞
∫
a
b
f
(
x
)
sin
n
x
d
x
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)\sin nx\,{\text{d}x=0.}
Twierdzenie (Eulera–Fouriera)
Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji
f
{\displaystyle f}
to współczynniki
a
k
,
b
k
{\displaystyle a_{k},\ b_{k}
wyrażają się wzorami (1.2) , (1.3) .
Dowód
f
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
k
=
1
∞
(
a
k
cos
k
ω
x
+
b
k
sin
k
ω
x
)
.
{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}{2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos k\omega x+b_{k}\sin k\omega x\right).}
Mnożąc powyższą równość przez
cos
n
ω
x
,
{\displaystyle \cos n\omega x,}
całkując szereg w granicach od
−
T
{\displaystyle -T}
do
T
{\displaystyle T}
(uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy:
∫
−
T
T
f
(
x
)
cos
n
ω
x
d
x
=
a
0
2
∫
−
T
T
cos
n
ω
x
d
x
+
∑
k
=
1
∞
(
a
k
∫
−
T
T
cos
n
ω
x
cos
k
ω
x
d
x
+
b
k
∫
−
T
T
cos
n
ω
x
sin
k
ω
x
d
x
)
.
{\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega x{\text{d}x={\frac {a_{0}{2}\int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x{\text{d}x+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x\cos k\omega x{\text{d}x+b_{k}\int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x\sin k\omega x{\text{d}x\right).}
Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że
n
≠
k
{\displaystyle n\neq k}
(gdy
n
=
0
{\displaystyle n=0}
zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy:
∫
−
T
T
f
(
x
)
cos
n
ω
x
d
x
=
a
n
T
.
{\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega x{\text{d}x=a_{n}T.}
Stąd otrzymujemy wzór (1.2) .
Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy przez
sin
n
ω
x
{\displaystyle \sin n\omega x}
)
Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera)
Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie
x
0
,
{\displaystyle x_{0},}
to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie. Innymi słowy: w punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.
Dowód
Niech
x
0
{\displaystyle x_{0}
będzie punktem, w którym funkcja f(x) jest różniczkowalna; mamy:
a
n
cos
n
ω
x
0
+
b
n
sin
n
ω
x
0
=
1
T
∫
−
T
T
f
(
x
)
cos
n
ω
x
d
x
cos
n
ω
x
0
+
1
T
∫
−
T
T
f
(
x
)
sin
n
ω
x
d
x
sin
n
ω
x
0
=
1
T
∫
−
T
T
f
(
x
)
(
cos
n
ω
x
cos
n
ω
x
0
+
sin
n
ω
x
sin
n
ω
x
0
)
d
x
=
1
T
∫
−
T
T
f
(
x
)
cos
n
ω
(
x
−
x
0
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\;a_{n}\cos n\omega x_{0}+b_{n}\sin n\omega x_{0}\\=&\;{\frac {1}{T}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega xdx\cos n\omega x_{0}+{\frac {1}{T}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\sin n\omega xdx\sin n\omega x_{0}\\=&\;{\frac {1}{T}\int \limits _{-T}^{T}f(x)(\cos n\omega x\cos n\omega x_{0}+\sin n\omega x\sin n\omega x_{0})dx\\=&\;{\frac {1}{T}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega (x-x_{0})dx.\end{aligned}
Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób:
S
N
=
1
2
T
∫
−
T
T
f
(
x
)
d
x
+
∑
n
=
1
N
1
T
∫
−
T
T
f
(
x
)
cos
n
ω
(
x
−
x
0
)
d
x
=
1
T
∫
−
T
T
f
(
x
)
(
1
2
+
∑
n
=
1
N
cos
n
ω
(
x
−
x
0
)
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{N}&={\frac {1}{2T}\int \limits _{-T}^{T}f(x)dx+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{T}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega (x-x_{0})dx\\&={\frac {1}{T}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\left({\frac {1}{2}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\omega (x-x_{0})\right)dx.\end{aligned}
Stosując do tego wyrażenia lemat II, otrzymujemy następujący wzór:
S
N
=
1
T
∫
−
T
T
f
(
x
)
sin
ω
(
N
+
1
2
)
(
x
−
x
0
)
2
sin
ω
1
2
(
x
−
x
0
)
d
x
.
{\displaystyle S_{N}={\frac {1}{T}\int \limits _{-T}^{T}f(x){\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}\right)(x-x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}(x-x_{0})}dx.}
Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie 2T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:
S
N
=
1
T
∫
−
T
T
f
(
x
+
x
0
)
sin
ω
(
N
+
1
2
)
x
2
sin
ω
1
2
x
d
x
.
{\displaystyle S_{N}={\frac {1}{T}\int \limits _{-T}^{T}f(x+x_{0}){\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}x}dx.}
Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc
f
(
x
)
=
1
,
{\displaystyle f(x)=1,}
mamy:
1
=
1
T
∫
−
T
T
sin
ω
(
N
+
1
2
)
x
2
sin
ω
1
2
x
d
x
.
{\displaystyle 1={\frac {1}{T}\int \limits _{-T}^{T}{\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}x}dx.}
Mnożąc powyższą równość przez
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0})}
i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu, otrzymujemy:
S
N
−
f
(
x
0
)
=
1
T
∫
−
T
T
(
f
(
x
+
x
0
)
−
f
(
x
0
)
)
sin
ω
(
N
+
1
2
)
x
2
sin
ω
1
2
x
d
x
.
{\displaystyle S_{N}-f(x_{0})={\frac {1}{T}\int \limits _{-T}^{T}(f(x+x_{0})-f(x_{0})){\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}x}dx.}
(2)
Rozważmy następującą granicę:
lim
x
→
0
f
(
x
+
x
0
)
−
f
(
x
0
)
2
sin
ω
1
2
x
=
lim
x
→
0
f
(
x
+
x
0
)
−
f
(
x
0
)
x
x
2
sin
ω
1
2
x
=
f
′
(
x
0
)
ω
,
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}x}=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{x}{\frac {x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}x}={\frac {f'(x_{0})}{\omega },}
przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie
x
0
.
{\displaystyle x_{0}.}
Możemy określić następującą funkcję:
ϕ
(
x
)
=
{
f
(
x
+
x
0
)
−
f
(
x
0
)
2
sin
ω
1
2
x
gdy
x
≠
0
f
′
(
x
0
)
ω
gdy
x
=
0
.
{\displaystyle \phi (x)=\left\{\begin{aligned}&{\frac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}x}&&{\text{gdy}~~x\neq 0\\&{\frac {f'(x_{0})}{\omega }&&{\text{gdy}~~x=0\end{aligned}\right..}
Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki, wzór (2) możemy zapisać w postaci:
S
N
−
f
(
x
0
)
=
1
T
∫
−
T
T
ϕ
(
x
)
sin
ω
(
N
+
1
2
)
x
d
x
.
{\displaystyle S_{N}-f(x_{0})={\frac {1}{T}\int \limits _{-T}^{T}\phi (x)\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}\right)xdx.}
Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc:
lim
N
→
∞
(
S
N
−
f
(
x
0
)
)
=
lim
N
→
∞
1
T
∫
−
T
T
ϕ
(
x
)
sin
ω
(
N
+
1
2
)
x
d
x
=
0
,
{\displaystyle \lim _{N\to \infty }(S_{N}-f(x_{0}))=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{T}\int \limits _{-T}^{T}\phi (x)\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}\right)xdx=0,}
czyli:
lim
N
→
∞
S
N
=
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}=f(x_{0}).}
q. e. d.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Polskojęzyczne
Anglojęzyczne