Fourierove vrste v matematiki omogočajo razstavljanje poljubne periodične funkcije ali periodičnega signala v vsoto (po možnosti končno) skupine periodičnih funkcij kot sta sinus in kosinus. Proučevanje Fourierovih vrst je veja Fourierove analize.
Tako se lahko na primer funkcijo razvije v neskončno vrsto po sinusih:
Lahko pa se neko drugo funkcijo razvije v neskončno vrsto po kosinusih:
Pri tem obe funkciji ohranita nekatere osnovne značilnosti, kot so periodičnost, lihost (ali sodost), vrednost pri in .
Imenujejo se po francoskem fiziku in matematiku Josephu Fourieru (1768–1830).
Včasih se uporablja tudi Fourierove vrste za , ki se jih označuje z:
Delne vsote za so trigonometrični polinomi. Pričakuje se, da funkcije za dajejo približek, ki se približuje vrednosti za , ko gre proti neskončnosti. Neskončna vsota v obliki:
se imenuje Fourierova vrsta za .
Fourierova vrsta ne konvergira vedno, saj se včasih celo za neko vrednost vsota vrste v tej točki razlikuje od vrednosti te funkcije. Harmonična analiza je področje, ki se ukvarja s konvergenco Fourierovih vrst. Kadar je kvadrat funkcije integrabilen na intervalu, takrat Fourierova vrsta konvergira skoraj v vsaki točki. Predpostavi se lahko, da Fourierova vrsta konvergira v vsaki točki razen v točkah nezveznosti.
Zgled
V zgledu se obravnava žagasti val in se ga razvije v Fourierovo vrsto. Žagasti val se opiše z naslednjo funkcijo:
V tem primeru se dobi za Fourierove koeficiente:
Lahko se dokaže, da Fourierova vrsta konvergira k vrednosti v vsaki točki, kjer je funkcija diferenciabilna. Torej se lahko zapiše:
S tem se dobi bolj zgoščeno obliko za Fourierovo vrsto:
Fourierovi koeficienti pa so:
in:
Zelo primerno je uporabiti obliko za tako, da se dobi obrazec v obliki:
V tehniki se pogosto uporablja naslednjo obliko:
kjer:
pomeni, da je uporabljena nezvezna domena frekvenc. Zelo pogosto v tehniki spremenljivka predstavlja čas.
Fourierove vrste v splošnem intervalu
Obravnava se splošni interval, kjer je s periodo za vsa realna števila definirana funkcija s kompleksnimi koeficienti . Lahko se zapiše:
Če je funkcija kvadratno integrabilna (velja: ), v intervalu , se jo lahko v tem intervalu prikaže z zgornjim obrazcem. To pa pomeni, da takrat, ko se dobi koeficiente za funkcijo z:
potem je povsod na intervalu enak . Iz tega sledi, da ima periodo enako in, da naslednje
sta in povsod enaka, razen na mestih nezveznosti
se lahko poljubno izbere. Najpogosteje se izbere in .
Fourierove vrste v kvadratu
Definira se lahko tudi Fourierove vrste za dve spremenljivki x in y v kvadratu :
Če se obravnava Hilbertove prostore, množica funkcij tvori ortonormalno bazo prostora za kvadratno integrabilne funkcije v . Ta prostor je Hilbertov prostor z notranjim produktom za poljubna dva elementa in , ki je definiran kot:
Osnovne Fourierove vrste v Hilbertovih prostorih se lahko zapiše kot:
To pa je enakovredno s kompleksno eksponentno obliko (glej zgoraj). Oblika s sinusom in kosinusom tvori ortogonalno množico:
če je integrabilna funkcija velja ter in . To je Riemann-Lebesguov izrek
dvojno neskončno zaporedje v je zaporedje Fourierovih koeficientov funkcije v , če in samo če je to konvolucija v
Parsevalov izrek: če je , potem je tudi
Plancherelov izrek: če so koeficienti in velja , potem obstaja funkcija tako, da velja za vsak
prvi konvolucijski izrek pravi, da takrat, ko sta in v L1([−π, π]), potem velja tudi , kjer je ƒ ∗ g konvolucija s periodo funkcij in
drugi konvolucijski izrek pravi, da je .
Posplošitve
Obstaja več vrst posplošitev Fourierovih vrst. Njihovo proučevanje se imenuje harmonična analiza.
Približki in konvergenca Fourierovih vrst
Glavni članek: konvergenca Fourierovih vrst.
Glej tudi: Gibbsov pojav
Gibbsov pojav
Zelo pomembno vprašanje je povezano s konvergenco Fourierovih vrst. Pogosto je treba zamenjati neskončno vrsto s končno: . Takšna vrsta se imenuje delna vsota. Želi se vedeti kako vrednost konvergira k , ko gre proti neskončnosti.
Divergenca Fourierovih vrst
Fourierove vrste so izredno dobro konvergentne. Vrste, ki bi bile divergentne so zelo redke. V letu 1922 je ruski matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903–1987) v enem svojih del podal primer integrabilne funkcije, katere Fourierova vrsta je skoraj povsod divergentna.