Twierdzenie Eulera – twierdzenie matematyczne, opisujące relację między okręgami opisanym i wpisanym w trójkąt.
Teza
Jeżeli w danym trójkącie jest odległością pomiędzy środkiem okręgu wpisanego i środkiem okręgu opisanego, to zachodzi
gdzie i oznaczają odpowiednio promień okręgu opisanego i wpisanego.
Dowód
Niech:
- będzie środkiem okręgu o promieniu opisanego na danym trójkącie
- środkiem okręgu o promieniu wpisanego w ten trójkąt.
Dwusieczna kąta przecina okrąg opisany w pewnym punkcie który połowi łuk
Niech prosta przecina okrąg opisany w punkcie
Niech będzie rzutem prostokątnym na
Trójkąty i są podobne (cecha: równość kątów), a zatem czyli tzn. Rozważmy trójkąt
Ponieważ
( jest dwusieczną kąta ),
więc i skąd Niech prosta przecina okrąg opisany w punktach i Wtedy czyli tzn.
Uwagi
Z twierdzenia tego wynika nierówność Eulera[1]:
Przypisy