Coordenadas elípticas

As coordenadas elípticas são um sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonais, onde as linhas coordenadas são elipses e hipérboles com os mesmos focos. Os focos ${\displaystyle F_{1}$ e ${\displaystyle F_{2}$ estão geralmente fixos nas posições ${\displaystyle x=-a}$ e ${\displaystyle x=+a}$, respectivamente, sobre o eixo ${\displaystyle OX}$ de um sistema cartesiano cujos eixos são eixos de simetría das linhas coordenadas hiperbólicas e elípticas.

As coordenadas elípticas cilíndricas são um sistema tridimensional obtido rotacionando o sistema anterior em torno do eixo dos focos e adicionando uma coordenada angular polar adicional.

Definição

A definição mais comum das coordenadas elípticas bidimensionais ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ é:

${\displaystyle }$ (left)

Onde:

${\displaystyle \mu \,}$ é um número real não-negativo e

${\displaystyle \nu \in [0,2\pi )\,}$.

No plano complexo, existe uma relação equivalente dada por:

${\displaystyle x+\mathrm {i} y=a\cosh(\mu +i\nu )}$

Estas definições correspondem à elipses e hipérboles. A identidade trigonométrica

${\displaystyle {\frac {x^{2}{a^{2}\cosh ^{2}\mu +{\frac {y^{2}{a^{2}\sinh ^{2}\mu =\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

mostra que as curvas com ${\displaystyle \mu \,}$ constante são elipses, enquanto que a identidade trigonométrica hiperbólica

${\displaystyle {\frac {x^{2}{a^{2}\cos ^{2}\nu -{\frac {y^{2}{a^{2}\sin ^{2}\nu =\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

mostra que as curvas com ${\displaystyle \nu \,}$ constante são hipérboles.

Aplicações

As aplicacões clássicas das coordenadas elípticas são a resolução de equações diferenciais parciais como a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as que as coordenadas elípticas admitam separação de variáveis. Um exemplo típico é a carga elétrica que rodeia um condutor plano de largura 2a. Ou o campo de duas cargas elétricas pontuais de mesmo sinal a uma distância 2a.