Diferença (matemática)

Em teoria dos conjuntos, o complementar de um subconjunto ${\displaystyle A\,}$ se refere a elementos que não estão no conjunto ${\displaystyle A\,}$. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo ${\displaystyle U\,}$, sendo o conjunto ${\displaystyle A^{c}\,}$ o complementar de ${\displaystyle A\,}$ formado pelos elementos de ${\displaystyle U\,}$ que não pertencem a ${\displaystyle A\,}$. De maneira mais geral, define-se o complementar de ${\displaystyle A\,}$ em relação a ${\displaystyle B\,}$, também chamado de diferença de conjuntos, como o conjunto dos elementos de ${\displaystyle B\,}$ que não estão em ${\displaystyle A\,}$.

Diferença de conjuntos

Definição

Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B ^[1], também conhecido como diferença de B e A ^[2], é o conjunto de elementos de B que não estão em A.

A diferença de B para A é geralmente denotada ${\displaystyle B\setminus A}$. Às vezes é escrito ${\displaystyle B-A}$, mas esta notação é ambígua, já que, em alguns contextos, pode ser interpretada como o conjunto de todos os elementos de b - a, onde b é tomado a partir de B e a a partir de A.

Formalmente:

${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B\mid x\notin A\}.}$

Exemplos

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}$.

• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}$.

• Se ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é o conjunto de números reais e ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ é o conjunto dos números racionais, então ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ é o conjunto dos números irracionais.

Propriedades

Sejam A, B e C três conjuntos. As seguintes identidades mostram propriedades importantes da diferença de conjuntos, que podem ser demonstradas com poucos passos usando a própria definição de diferença de conjuntos, junto com as Leis de De Morgan:

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}$;

• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)=(C\setminus A)\setminus B=(C\setminus B)\setminus A}$;
• ${\displaystyle (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)}$;
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)}$;
• Com o caso especialmente importante de que ${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$ demonstrando que a interseção pode ser expressa usando apenas a operação de diferença de conjuntos;
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}$;
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}$;
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset }$;
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset }$;
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A}$.

Complementar do conjunto

Definição

Se A é um conjunto, então o complementar de A é o conjunto de elementos que não estão em A. Em outras palavras, se U é o universo que contém todos os conjuntos que estão sendo estudados no problema de modo que não é necessário mencioná-lo quando ele é óbvio e único, então o complementar de A é a diferença entre os conjuntos U e A, sendo representado normalmente como:

${\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A}$.

Formalmente:

${\displaystyle A^{\complement }=\{x\in U\mid x\notin A\}.}$

Outras notações incluem ${\displaystyle A^{c}$, ${\displaystyle {\overline {A}$, ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle \complement _{U}A}$, e ${\displaystyle \complement A}$.^[3]

Exemplos

• Assuma que o universo é o conjunto dos inteiros. Se A é o conjunto dos números ímpares, então o complementar de A é o conjunto de números pares. Se B é o conjunto de múltiplos de 3, então o complementar de B é o conjunto de números congruentes a 1 ou 2 módulo 3.

• Assuma que o universo é um baralho padrão de 52 cartas. Se o conjunto A é o naipe de espadas, então o complementar de A é a união do naipe de copas, paus, e ouros.

Propriedades

Sejam A e B dois conjuntos no universo U. As seguintes identidades mostram propriedades importantes de complementares:

Teoremas de De Morgan:^[1]

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.}$

Leis de complementar:^[1]

• ${\displaystyle A\cup A^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing .}$
• ${\displaystyle \varnothing ^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle U^{\complement }=\varnothing .}$
• ${\displaystyle {\text{Se }A\subset B{\text{, então }B^{\complement }\subset A^{\complement }.}$

Involução ou lei do duplo complementar:

• ${\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.}$

Relações entre o complementar e a diferença de conjuntos:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B.}$
• ${\displaystyle A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.}$

As duas primeiras leis acima mostram que se A é não-vazio, subconjunto próprio de U, então {A, A^c} é uma partição de U.

Notação em LaTeX

Na linguagem de diagramação de textos LaTeX, o comando \setminus^[4] é normalmente o utilizado para representar o símbolo de diferença de conjuntos, similar ao comando backslash. Existe também um variante \smallsetminus disponível no pacote amssymb.

Complementar em várias linguagens de programação

Algumas linguagens de programação permitem a manipulação de conjuntos como estruturas de dados, usar estes operadores como função para construir a diferença entre dois conjuntos a e b:

.NET Framework

a.Except(b);

C++

set_difference(a.begin(), a.end(), b.begin(), b.end(), result.begin());

Clojure

(clojure.set/difference a b)^[5]

Common Lisp

set-difference, nset-difference^[6]

F#

Set.difference a b^[7]

or

a - b^[8]

Falcon

diff = a - b^[9]

Haskell

difference a b

a \\ b^[10]

Java

diff = a.clone();

diff.removeAll(b);^[11]

Julia

setdiff^[12]

Mathematica

Complement^[13]

MATLAB

setdiff^[14]

OCaml

Set.S.diff^[15]

Octave

setdiff^[16]

PARI/GP

setminus^[17]

Pascal

SetDifference := a - b;

Perl 5

# for perl version >= 5.10
@a = grep {not $_ ~~ @b} @a;

Perl 6

$A ∖ $B
$A (-) $B # texas version

PHP

array_diff($a, $b);^[18]

Prolog

a(X),\+ b(X).

Python

diff = a.difference(b)^[19]

diff = a - b^[19]

R

setdiff^[20]

Racket

(set-subtract a b)^[21]

Ruby

diff = a - b^[22]

Scala

a.diff(b)^[23]

or

a -- b^[23]

Smalltalk (Pharo)

a difference: b

SQL

SELECT * FROM A
EXCEPT
SELECT * FROM B

Unix shell

comm -23 a b^[24]

Ver também

• Conjunto
• Teoria ingênua dos conjuntos
• Diferença simétrica

Referências

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Complement» (em inglês). MathWorld 
• Weisstein, Eric W. «Complement Set» (em inglês). MathWorld