Espaço métrico

Em matemática, um espaço métrico é um conjunto onde a distância entre quaisquer dois de seus elementos é definida por uma função chamada métrica.^[1] A métrica permite que a noção de continuidade seja estendida para funções entre espaços métricos. Os espaços métricos são exemplos de uma classe mais abrangente de espaços, chamados espaços topológicos.

O espaço métrico mais familiar é o espaço euclidiano. Na verdade, a métrica é uma generalização das quatro propriedades conhecidas da distância euclidiana. A métrica euclidiana define a distância entre dois pontos como o comprimento do segmento de reta que os conecta.

Existem outros espaços métricos, por exemplo, na geometria elíptica. Mesmo no espaço euclidiano, podemos adotar uma medida diferente de distância, como a métrica de Manhattan.

Seja ${\displaystyle X}$ um conjunto qualquer. Uma métrica definida sobre ${\displaystyle X}$ é uma função ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ que associa um par ${\displaystyle (x,y)\in X\times X}$ ao número ${\displaystyle d(x,y)}$, chamado de distância entre ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, de modo que para quaisquer ${\displaystyle x,y,z\in X}$ valem:

1. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$;
2. Se ${\displaystyle x\neq y}$, então, ${\displaystyle d(x,y)>0}$ (positividade);
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ (simetria);
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ (desigualdade triangular).

Um par ${\displaystyle (X,d)}$ em que ${\displaystyle X}$ é um conjunto e ${\displaystyle d}$ é uma métrica é chamado de espaço métrico.^[2]

De forma intuitiva, pode-se pensar no conjunto ${\displaystyle X}$ como um conjunto de locais ligados por um sistema de estradas. A distância entre dois pontos pode ser definida como o comprimento da rota mais curta que liga dois desses locais. Deste modo, a simetria significa que neste sistema de estradas não deve haver estradas de mão única e a desigualdade do triângulo expressa o fato de que os desvios não são atalhos.

• O conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dos números reais é o exemplo mais importante de espaço métrico com respeito à métrica ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d)}$, onde ${\displaystyle d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(y_{n}-x_{n})^{2}$, é o espaço de dimensão ${\displaystyle n\,}$ com a distância usual (espaço vetorial euclidiano).
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d)}$, onde ${\displaystyle d(x,y)=\max\{|x_{1}-y_{1}|,...,|x_{n}-y_{n}|\}$ observe que com esse exemplo, olhar para um mesmo conjunto ${\displaystyle X}$ com métricas diferentes. Isso provoca uma mudança na topologia do conjunto.
• ${\displaystyle (X,d)\,}$, onde ${\displaystyle d(x,y)=\left\{\begin{matrix}0,&{\mbox{se }x=y\\1,&{\mbox{se }x\neq y\end{matrix}\right.}$ é denominado de espaço métrico discreto.
• Qualquer subconjunto ${\displaystyle A\subset X}$de um espaço métrico ${\displaystyle X}$ é um espaço métrico, basta considerar a restrição ${\displaystyle d|_{A\times A}\to \mathbb {R} }$.
• Seja V o conjunto das funções contínuas de domínio ${\displaystyle [a,b]}$ e contradomínio real. Então ${\displaystyle d(f,g)=\max |f(x)-g(x)|\,}$ torna V um espaço métrico (a condição de continuidade é importante para garantir que essa métrica seja definida).

Definição. Sejam ${\displaystyle (X,d)}$ um espaço métrico e ${\displaystyle U\subset X}$ um subconjunto, diz-se que ${\displaystyle U}$ é um subconjunto aberto de ${\displaystyle X}$ quando para todo elemento ${\displaystyle x_{0}\in U}$ existe algum ${\displaystyle \epsilon >0}$ tal que ${\displaystyle x\in U}$ sempre que ${\displaystyle d(x,x_{0})<\epsilon }$.

Uma classe importante de conjuntos abertos são as chamadas bolas abertas, para um ponto ${\displaystyle x_{0}\in X}$ e um número real ${\displaystyle r>0}$, chama-se bola aberta de centro ${\displaystyle x_{0}$e raio ${\displaystyle r}$ o subconjunto ${\displaystyle B(x_{0};r)=\{x\in X:d(x,x_{0})<r\}$. Pode-se mostrar que toda bola aberta é um subconjunto aberto e que todo subconjunto aberto pode ser escrito como a reunião de uma família (enumerável ou não) de bolas abertas.

A classe dos conjuntos abertos gozam das seguintes propriedades:

1. O conjunto vazio ${\displaystyle \varnothing }$ e ${\displaystyle X}$ são subconjuntos abertos de ${\displaystyle X}$;
2. Se ${\displaystyle \{U_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ é uma família indexada de subconjuntos abertos de ${\displaystyle X}$, então a reunião ${\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }U_{\lambda }$ é também um subconjunto aberto de ${\displaystyle X}$;
3. Se ${\displaystyle U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}$são subconjuntos abertos de ${\displaystyle X}$, então a interseção ${\displaystyle \bigcap _{k=1}^{n}U_{k}$ é também um subconjunto aberto de ${\displaystyle X}$.

As propriedades 1, 2 e 3 acima caracterizam a classe ${\displaystyle \tau \subset {\mathcal {P}(X)}$ dos subconjuntos abertos de ${\displaystyle X}$ como uma topologia, chamada de topologia induzida pela métrica ${\displaystyle d}$, de modo que o par ${\displaystyle (X,\tau )}$ é um espaço topológico.^[2]

Diz-se que sequência ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ com elementos num espaço métrico ${\displaystyle (X,d)}$ converge para um elemento ${\displaystyle x\in X}$ se para qualquer ${\displaystyle \epsilon >0}$ existe um número natural ${\displaystyle n_{0}=n_{0}(\epsilon )}$ tal que ${\displaystyle d(x,x_{n})<\epsilon }$ para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle n>n_{0}$. Nessa ocasião, ${\displaystyle x}$ é o único elemento do espaço métrico com esta propriedade, e é chamado de limite da sequência, e escreve-se ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n}=x}$ ou ${\displaystyle x_{n}\to x}$.

Uma sequência ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ com elementos num espaço métrico ${\displaystyle (X,d)}$ é de Cauchy ou satisfaz o critério de Cauchy quando para todo ${\displaystyle \epsilon >0}$ pode-se encontrar um número natural ${\displaystyle n_{0}=n_{0}(\epsilon )}$ de modo que ${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\epsilon }$ para quaisquer números naturais ${\displaystyle m,n>n_{0}$. Pode se mostrar que toda sequência convergente é de Cauchy, e um espaço métrico em que critério de Cauchy é suficiente para convergência é chamado de espaço métrico completo. Exemplos de espaços métricos completos incluem ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n}$ e qualquer Espaço vetorial normado de dimensão finita^[3].

• Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed. [S.l.]: IMPA. 299 páginas. ISBN 978-85-244-0158-9 

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