Matriz de covariância
Em estatística e em teoria das probabilidades , matriz de covariância é uma matriz , simétrica, que sumariza a covariância entre N variáveis.
Definição
Se os elementos de um vetor coluna
X
=
[
X
1
X
2
⋮
X
n
]
{\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\\vdots \\X_{n}\end{bmatrix}
forem variáveis aleatórias , cada uma com variância finita, então a matriz de covariância será a matriz cujo elemento (i , j ) é a covariância
Σ
i
j
=
c
o
v
(
X
i
,
X
j
)
=
E
[
(
X
i
−
μ
i
)
(
X
j
−
μ
j
)
]
{\displaystyle \Sigma _{ij}=\mathrm {cov} (X_{i},X_{j})=\mathrm {E} {\begin{bmatrix}(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})\end{bmatrix}
em que
μ
i
=
E
(
X
i
)
{\displaystyle \mu _{i}=\mathrm {E} (X_{i})\,}
é o valor esperado do i -ésimo elemento do vetor X . Em outras palavras, temos
Σ
=
[
E
[
(
X
1
−
μ
1
)
(
X
1
−
μ
1
)
]
E
[
(
X
1
−
μ
1
)
(
X
2
−
μ
2
)
]
⋯
E
[
(
X
1
−
μ
1
)
(
X
n
−
μ
n
)
]
E
[
(
X
2
−
μ
2
)
(
X
1
−
μ
1
)
]
E
[
(
X
2
−
μ
2
)
(
X
2
−
μ
2
)
]
⋯
E
[
(
X
2
−
μ
2
)
(
X
n
−
μ
n
)
]
⋮
⋮
⋱
⋮
E
[
(
X
n
−
μ
n
)
(
X
1
−
μ
1
)
]
E
[
(
X
n
−
μ
n
)
(
X
2
−
μ
2
)
]
⋯
E
[
(
X
n
−
μ
n
)
(
X
n
−
μ
n
)
]
]
{\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{n}-\mu _{n})]\end{bmatrix}
A covariância entre um elemento
X
i
{\displaystyle X_{i}
e ele mesmo é a sua variância e forma a diagonal principal da matriz. A inversa desta matriz,
Σ
−
1
{\displaystyle \Sigma ^{-1}
, é chamada matriz de covariância inversa ou matriz de precisão .[ 1]
Generalização do conceito
A definição acima é equivalente à multiplicação do vetor coluna pela sua transposta
Σ
=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
(
X
−
E
[
X
]
)
⊤
]
{\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} \left[\left({\textbf {X}-\mathrm {E} [{\textbf {X}]\right)\left({\textbf {X}-\mathrm {E} [{\textbf {X}]\right)^{\top }\right]}
Propriedades
Ver também
Notes
↑ Larry Wasserman (2004). Tudo sobre Estatística: Um Curso Conciso sobre Inferência Estatística . [S.l.: s.n.]
Referências
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