Kovariančna matrika (oznaka ) (tudi variančno-kovariančna matrika) je matrika, katere elementi so kovariance i-tega in j-tega elementa vektorja slučajne spremenljivke.
Definicija
Označimo z stolpični vektor
kjer so posamezne komponente slučajne spremenljivke, ki imajo končno varianco.
Kovariančna matrika , ki ima za elemente kovariance tako, da je
kjer je
- pričakovana vrednost za i-to komponento vektorja .
- kovarianca elementov in .
Iz tega sledi, da kovariančno matriko lahko zapišemo kot
- .
Obratno matriko kovariančne matrike imenujejo tudi matrika natančnosti.
Kovariančno matriko imenujemo tudi variančno-kovariančna matrika, ker velja
kjer je
- varianca vektorja
- kovarianca komponent in
- varianca n-te komponente vektorja (na glavni diagonali so same variance, izven diagonale pa so kovariance). Zaradi tega ima matrika tudi ime variančno-kovariančna matrika.
Posplošitev variance
Zgornja definicija je enakovredna zapisu
- .
Ta zapis lahko smatramo za posplošitev skalarne oblike variance na višje razsežnosti.
Pri tem velja za slučajno spremenljivko s skalarnimi vrednostmi
kjer je
Lastnosti
Za kovariančno matriko
- je pozitivno semidefinitna matrika (to pomeni, da je simetrična).
- kadar velja p = q, potem je
- kadar sta in neodvisna, velja tudi .
Glej tudi
Zunanje povezave