Número poligonal

Em matemática, um número poligonal é um número figurado em duas dimensões, isto é, um número que pode ser representado por pontos formando um polígono regular.

Por convenção, "1" é o primeiro número poligonal, independente do número de lados. A regra para aumentar o poligono para o próximo tamanho é acrescentar uma fileira de pontos a partir das extremidades de dois lados adjacentes e então completar os outros lados de modo a manter a forma do mesmo polígono.

Nos diagramas abaixo, cada camada seguinte está em vermelho.

Polígonos com maior número de lados, tais como pentágonos e hexágonos, também podem ser construidos de acordo com esta regra, embora os pontos não mais formarão um poligono regular preenchido.

Se s é o número de lados de um polígono, a fórmula para o n^ésimo número s-gonal P(s,n) é

${\displaystyle P(s,n)={({\frac {s}{2}-1)n^{2}-({\frac {s}{2}-2)n}\,.}$

O n^ésimo número s-gonal está relacionado aos números triangulares T_n da seguinte forma:

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.}$

Portanto:

${\displaystyle P(s,n+1)-P(s,n)=(s-2)n+1\,,}$

${\displaystyle P(s+1,n)-P(s,n)=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}\,.}$

Para um número s-gonal P(s,n) = x, pode-se achar n por

${\displaystyle n={\frac {\sqrt {(8s-16)x+(s-4)^{2}+s-4}{2s-4}.}$

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