1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Um gráfico mostrando as séres com caixas em camadas e uma parábola que corta o eixo y em -1/12
As primeiras quatro parcelas da série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. A parábola é uma assintota suavizada que intercepta o eixo y em -1/12.

A soma de todos os números naturais 1 + 2 + 3 + 4 + · · · é uma série divergente. A soma parcial da n-ésima parcela da série é o número triangular

Demonstração animada das somas parciais

que aumenta sem fronteira conforme n cresce até o infinito. Uma vez que a sequência de somas parciais falha em convergir para um limite finito, a série, em uma primeira análise, parece não ter um somatório.

Embora a série pareça não ter significado algum à primeira vista, pode ser manipulada para levar a um resultado interessante matematicamente, o qual tem aplicações em outros campos tais como na análise complexa, teoria quântica de campos e teoria das cordas. Muitos métodos de somatórios são utilizados na matemática para assinalar valores numéricos mesmo para séries divergentes. Em particular, o método de regularização da função zeta e a Soma de Ramanujan estabelecem a série com o valor de -1/12, que é expressa pela famosa fórmula:[1]

Em uma monografia sobre Monstrous moonshine, Terry Gannon chama a equação de "uma das mais notáveis fórmulas da ciência".[2]

Referências

  1. ↑ Lepowsky, J. (1999). Naihuan Jing and Kailash C. Misra, ed. Vertex operator algebras and the zeta function. Col: Contemporary Mathematics. 248. [S.l.: s.n.] pp. 327–340. arXiv:math/9909178Acessível livremente 
  2. ↑ Gannon, Terry (abril de 2010). Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 140 
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