Na física a Representação de Heisenberg, desenvolvida pelo físico Werner Heisenberg, é a formulação da mecânica quântica onde os operadores (observáveis) são dependentes do tempo e o estado quântico são independentes do tempo. Isto demonstra o contraste com a Representação de Schrödinger na qual os operadores são constantes e o estado quântico se desenvolve no tempo. Estas duas representações apenas se diferem pela mudança na dependência do tempo. Formalmente falando a Representação de Heisenberg é a formulação da mecânica matricial numa base arbitrária, onde o Hamiltoniano não é necessariamente diagonal.
Detalhes matemáticos
Na Representação de Heisenberg da mecânica quântica o estado quântico,
, não se modifica com o tempo, e um observador A satisfaz a equação
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+\left({\frac {\partial A}{\partial t}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0292142c4e2c71711c40c563c99f5ac3ccf5bdf)
onde H é o hamiltoniano e [·,·] é o comutador de A e H. Em certo sentido, a Representação de Heisenberg é mais natural e fundamental que a Representação de Schrödinger, especialmente para a teoria da relatividade geral e restrita.
A similaridade da Representação de Heisenberg com a física clássica é facilmente identificada ao trocar o comutador da equação acima pelos Parênteses de Poisson, então a equação de Heisenberg se tornará uma equação da mecânica hamiltoniana.
Derivando a equação de Heisenberg
Suponha que nós tenhamos um observador A (que é um operador autoadjunto). O valor esperado de A para um dado estado
é dado por:
![{\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aef7ee94bb14a4a68a3cc3a3e3ed9d0cd081968)
ou se nós escrevermos a seguinte Equação de Schrödinger
![{\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e9a8ebd74fbc1580e8f98d1407b07bc9edf2ff)
(onde H é o hamiltoniano independente do tempo e ħ é a Constante de Planck dividida por 2·π) nós teremos
![{\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60734970d7f5e4c9f524bdda184076be3c8a7ebc)
e então nós definiremos
![{\displaystyle A(t):=e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aef581f5eeb45a7acfb3f360888d455f3413ebc)
Agora obteremos
![{\displaystyle {d \over dt}A(t)={i \over \hbar }He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+\left({\frac {\partial A}{\partial t}\right)+{i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d68023682e428e82abae5c736b4867d88836c0c2)
(diferenciando de acordo com a regra do produto)
![{\displaystyle ={i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+\left({\frac {\partial A}{\partial t}\right)={i \over \hbar }\left(HA(t)-A(t)H\right)+\left({\frac {\partial A}{\partial t}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a08679b80a2dc84e06ab767c853d44008661f9)
(a última passagem é válida já que
comuta com H.) Nós agora estamos à esquerda da Equação de Heisenberg do movimento
![{\displaystyle {d \over dt}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+\left({\frac {\partial A}{\partial t}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3017db15ffd76e380b38519150f1ee596c83f991)
(onde [X, Y] é o comutador dos dois operadores e definidos como [X, Y] := XY − YX).
Agora, se nós fizermos uso do operador de igualdade
![{\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}[B,[B,[B,A]]]+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d826229a693044c6ce222b3d7be98fb23c54ba)
Nós veremos que para um observador independente do tempo A, nós obteremos:
![{\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }[H,A]-{\frac {t^{2}{2!\hbar ^{2}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}{3!\hbar ^{3}[H,[H,[H,A]]]+\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02226bd09f38321e0049cd8ed9920d3869305a45)
Devido ao relacionamento entre os Parênteses de Poisson e os comutadores, esta relação também obedece à mecânica clássica.
Relacionamento do comutador
O relacionamento do comutador é bastante diferente à Representação de Schrödinger por causa da dependência do tempo dos operadores. Por exemplo, considere os operadores
e
. A evolução no tempo destes operadores depende do hamiltoniano deste sistema. Para um oscilador harmônico de uma dimensão
![{\displaystyle H={\frac {p^{2}{2m}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3721c910bd1ffe4fbd71045e724dcd58e87e1aa0)
A evolução da posição e do operador do momento é dada por:
![{\displaystyle {d \over dt}x(t)={i \over \hbar }[H,x(t)]={\frac {p}{m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3dc9b72cab7af82220cfa63d2b1da90abda9ab)
![{\displaystyle {d \over dt}p(t)={i \over \hbar }[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98b67aa77be187bd89aa4d45f0867745e3f16ec)
Pela diferenciação de ambas equações e solucionando com as devidas condições iniciais
![{\displaystyle {\dot {p}(0)=-m\omega ^{2}x_{0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7765f69c64ead79fae17e53cf90c1b6e6213f8da)
![{\displaystyle {\dot {x}(0)={\frac {p_{0}{m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c6a483b4a86915c95d864bcf60a793ca293b84)
nos leva a:
![{\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}{\omega m}\sin(\omega t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f951548c1f6d0f3dd587288294000976b32272d3)
![{\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e225b95f2b82475c178462ffcdf61b60e31852de)
Agora nós estamos prontos para diretamente comutar a relação do comutador:
![{\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6886919c1d2248a10af268f6911c90cddaa5b592)
![{\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de20797ec01d2814d48f9a79cb761c11fdf21cd)
![{\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f619255c3bab50963290678ba47509d47c6577e)
Perceba que para
, simplesmente obteremos a já conhecida relação de comutação canônica.
Ver também
Ligações externas