Transformada de Hilbert

Em matemática, a transformada de Hilbert é uma transformada integral que mapeia uma função f(x) em uma outra, û(x) (portanto, no mesmo domínio^{[nota 1][nota 2]}).^[1][2]

Ela recebeu esse nome em homenagem ao matemático alemão David Hilbert, que, em 1905, estudou uma transformação similar com vistas a estudar o Problema de Riemann-Hilbert sobre o círculo. Não foi, portanto, o próprio Hilbert que definiu essa transformada, e sim o matemático britânico Godfrey Harold Hardy, em 1925 (ver abaixo. Pesquisas posteriores fixaram a forma da transformação como hoje é usada, mostraram sua utilidade em campos diferentes de aplicação, como a análise harmónica,^[2] o processamento digital de sinais,^[3] a óptica,^[1] a sismologia,^[1] a física quântica,^[3] a fisiologia^[4] e a acústica,^[4] e introduziram variações, como a Transformada Discreta de Hilbert, a Transformada de Hilbert Bilinear e a Transformada de Hilbert Trilinear.

A utilidade da transformada de Hilbert advém do fato de a função g(x) = f(x) + i·û(x) (onde i é unidade imaginária) ser sempre uma função analítica (também chamada de função regular e função holomorfa) na metade superior do plano complexo, ou seja, uma função que é infinitamente diferenciável nesse domínio. Em outras palavras, em toda função analítica, a parte imaginária é a transformada de Hilbert da parte real.^{[1][nota 3]} Assim, a transformação de Hilbert é uma maneira prática de se obter a conjugada de uma função real qualquer f(x). Daí decorrem diversas aplicações práticas:

1. Para obter-se uma representação analítica de uma função. Em diversas aplicações, é mais fácil trabalhar com a função complexa g(x), por ser analítica, do que com a função real f(x).^[1]
2. Como uma maneira de generalizar o conceito de fasor em aplicações onde se lida com sinais de frequências variáveis no tempo. Neste caso, diferentemente da transformada de Fourier e outras relacionadas, representa-se o sinal não como uma soma dos seus componentes senoidais, e sim como um produto de duas funções, uma de alta e outra de baixa frequência.^[5]
3. Como uma ferramenta para demodular um sinal, obtendo o seu envelope (ou envoltória).^[6]

Este verbete trata principalmente da transformada "contínua" de Hilbert, isto é, a transformada de funções definidas em um espaço euclideano. A transformação pode ser aplicada também em espaços discretos (ver Transformada discreta de Hilbert, mais abaixo).) e espaços contínuos não-euclideanos, como um toroide^[3] (ver Extensões em outros espaços, mais abaixo).

Definição

A transformada de Hilbert de uma função f(x) é definida por:

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f(x)\}\;=\;{\hat {u}(x)\;=\;{\frac {1}{\pi }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(u)}{u-x}\;du\;\;\;\;\;(1a)}$

Convenções

Como também acontece com outras transformadas, o sinal da integral na definição é matéria de convenção e pode ser invertido sem mudança nas propriedades essenciais da Transformada de Hilbert. Tal inversão se encontra frequentemente na literatura.

Também é frequente expressar a variável independente na transformada como y, em lugar de x, para deixar mais clara a relação entre as funções û(y) e f(x). Tal convenção não foi usada aqui.

Neste verbete, como se verifica em toda a literatura, x é sempre uma variável real. Portanto, f(x) e û(x) são sempre funções reais. s e z denotam variáveis complexas. k (minúscula), l, m e n são constantes reais inteiras. a e b são constantes complexas. K (maiúscula), p e q são constantes reais. t e ω são variáveis reais, denotando sempre as grandezas físicas tempo e frequência angular. Evitou-se referenciar a grandeza física frequência linear, de forma a evitarem-se ambiguidades; quando necessário, usa-se a expressão ${\displaystyle {\frac {\omega }{2\pi }$.

Cálculo e condições de existência

O cálculo da integral contida na definição apresenta dificuldades, não só porque se trata de uma integral imprópria com limites infinitos, mas principalmente porque o integrando assume valores infinitos dentro do intervalo de integração (o que se chama uma singularidade). Para contornar essas dificuldades, divide-se a integral em duas partes de modo a obter-se a formulação alternativa

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f(x)\}\;=\;{\hat {u}(x)\;=\;{\frac {1}{\pi }\;\lim _{\epsilon \to 0}\left(\int _{x-{\frac {1}{\epsilon }^{x-\epsilon }{\frac {f(u)}{u-x}\;du\;+\;\int _{x+\epsilon }^{x+{\frac {1}{\epsilon }{\frac {f(u)}{u-x}\;du\right)\;\;\;\;\;(2)}$

efetivamente excluindo-se do cálculo um intervalo simétrico de comprimento 2ε em torno da singularidade. Essa forma é chamada de valor principal de Cauchy da integral, por isso é comum, em textos mais formais, encontrar a definição da Transformada de Hilbert escrita assim:

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f(x)\}\;=\;{\hat {u}(x)\;=\;{\frac {1}{\pi }PV\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(u)}{u-x}\;du\right)\;\;\;\;\;(3)}$

As expressões (2) e (3) são rigorosamente equivalentes. Neste verbete, usamos (1a), por brevidade.

Substituindo-se variáveis (v = x + u, w = x - u), obtêm-se outras formulações alternativas:

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f(x)\}\;=\;{\hat {u}(x)\;=\;{\frac {1}{\pi }\;\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {f(x+u)\;-\;f(x-u)}{u}\;du\;\;\;\;\;(4)}$

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f(x)\}\;=\;{\hat {u}(x)\;=\;-\;{\frac {1}{\pi }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x\;-\;u)}{u}\;du\;\;\;\;\;(5)}$

Para que a integral em (2) convirja, a função f(x) precisa atender a certas condições. Titchmarsh demonstrou que as funções no Espaço L^p com 1<p<∞ possuem transformadas de Hilbert, bem como algumas no L¹.^[7]

Sabe-se também que a chamada condição de Paley-Wiener é necessária e suficiente para que a transformada exista.^[3]

A maioria das funções^{[nota 4]} de interesse em engenharia incluem-se nessa categoria. A tabela abaixo lista algumas dessas funções e suas respectivas transformadas.

Tabela de transformadas de Hilbert

Para detalhes, ver também Derivação de algumas transformadas de Hilbert.

Tabela 1 - Transformadas de Hilbert de algumas funções f(x)^[8][2][1]

${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle {\hat {u}(x)}$
${\displaystyle K}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle e^{ix}$	${\displaystyle ie^{ix}$
${\displaystyle e^{-ix}$	${\displaystyle -\;ie^{-ix}$
${\displaystyle \sin(x)}$	${\displaystyle \cos(x)}$
${\displaystyle \cos(x)}$	${\displaystyle -\;\sin(x)}$
${\displaystyle \operatorname {cas} (x)}$	${\displaystyle \operatorname {cas} (-x)}$
${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}\;\sin(2x)}$
${\displaystyle \cos ^{2}(x)}$	${\displaystyle -\;{\frac {1}{2}\;\cos(2x)}$
${\displaystyle \delta (x)}$	${\displaystyle -\;{\frac {1}{\pi x}$
${\displaystyle {\frac {1}{x}$	${\displaystyle \pi \delta (x)}$
${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+1}$	${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}$
${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}$	${\displaystyle -\;{\frac {x}{x^{2}+1}$
${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{(x^{2}+1)^{2}$	${\displaystyle {\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}$
${\displaystyle {\frac {x}{(x^{2}+1)^{2}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}{\frac {1-x^{2}{(x^{2}+1)^{2}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|x|}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|x|}$
${\displaystyle \operatorname {rect} (x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }\ln \left|{\frac {x\;-\;{\frac {1}{2}{x\;+\;{\frac {1}{2}\right|}$
${\displaystyle \operatorname {tri} (x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }\left(\ln \left|{\frac {x\;-\;1}{x\;+\;1}\right|\;+\;\ln \left|{\frac {x^{2}{x^{2}\;-\ 1}\right|\right)}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$	${\displaystyle {\frac {\cos(\pi x)\;-\;1}{x}$
${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}$	${\displaystyle {\frac {\cos(x)\;-\;1}{x}$
${\displaystyle e^{-x^{2}$	${\displaystyle -\;e^{-x^{2}\operatorname {erfi} (x)}$
onde: ${\displaystyle \operatorname {cas} (x)\,}$ (ing. "cosine and sine") é o núcleo da Transformada de Hartley ${\displaystyle \delta (x)\,}$ é a função impulso unitário ${\displaystyle \operatorname {rect} (x)\,}$ é a função retangular ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)\,}$ é a função seno cardinal ${\displaystyle \operatorname {tri} (x)\,}$ é a função triangular ${\displaystyle \operatorname {erfi} (x)\,}$ é a função erro imaginário

Transformada inversa^{[nota 5]}

A transformada de Hilbert tem a propriedade conveniente de ser o negativo de sua própria inversa (o que se chama uma anti-involução):

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f(x)\}\;=\;{\hat {u}(x)\;=\;-\;{\mathcal {H}^{-1}\{f(x)\}$

Isso é uma consequência do fato de a aplicação da transformação duas vezes sucessivas resultar no negativo da função original

${\displaystyle {\mathcal {H}\{\hat {u}(x)\}\;=\;{\mathcal {H}\{\mathcal {H}\{f(x)\}\}\;=\;-\;f(x)}$

Uma consequência interessante é que a aplicação da transformação três vezes sucessivas resulta na transformada inversa

${\displaystyle {\mathcal {H}\{\mathcal {H}\{\mathcal {H}\{f(x)\}\}\}\;=\;f(x)}$

e assim por diante. Essas propriedades ficam mais claras se expressas através de operadores:

• ${\displaystyle {\mathcal {H}\;=\;-\;{\mathcal {H}^{-1}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}^{2}\;=\;-\;{\mathcal {I}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}^{3}\;=\;{\mathcal {H}^{-1}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}^{4}\;=\;{\mathcal {I}$

Convolução

Por inspeção direta da expressão (1a), percebe-se que a função û(x) é a convolução da função f(x) com a função ${\displaystyle \left(-\;{\frac {1}{\pi \;x}\right)}$. Essa função é chamada núcleo de Hilbert, e será denotada neste verbete como h(x). Assim, uma outra expressão para a definição da Transformada de Hilbert é a seguinte:

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f(x)\}\;=\;{\hat {u}(x)\;=\;h(x)*f(x)\;\;\;\;\;\;(6a)}$

Formas alternativas da transformada de Hilbert

A transformada de Hilbert, definida pela equação (1a), pode ser expressa de forma alternativa com a introdução das variáveis auxiliares η e ζ tais que

${\displaystyle x\;=\;\tan \left({\frac {\eta }{2}\right)\;\;\;\;\;u\;=\;\tan \left({\frac {\zeta }{2}\right)\;\;\;\;\;(1b)}$

obtendo-se as expressões

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f(x)\}\;=\;{\hat {u}(\zeta )\;=\;{\frac {1}{2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left(\tan \left({\frac {\eta }{2}\right)\right)\cdot \left[\tan \left({\frac {\eta }{2}\right)\;+\;\cot \left({\frac {\eta \;-\;\zeta }{2}\right)\right]\;d\eta \;\;\;\;\;(1c)}$

e

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f(x)\}\;=\;{\hat {u}(\zeta )\;=\;{\frac {1}{2\pi }\int _{0}^{2\pi }f\left(-\cot \left({\frac {\eta }{2}\right)\right)\cdot \left[\cot \left({\frac {\eta }{2}\right)\;+\;\cot \left({\frac {\eta \;-\;\zeta }{2}\right)\right]\;d\eta \;\;\;\;\;(1d)}$

Quando definida por meio das equações (1c) ou (1d), a transformada de Hilbert possui todas as propriedades da transformação definida pela equação (1a), inclusive a anti-simetria da transformada inversa, e ainda a propriedade adicional de ser uma função periódica em ζ.^[9]

Propriedades elementares

Linearidade

Da expressão (1a), segue-se imediatamente que a transformada de Hilbert é um operador linear. Assim, podemos escrever

${\displaystyle {\mathcal {H}\{a_{1}f_{1}(x)\;+\;a_{2}f_{2}(x)\}\;=\;a_{1}{\mathcal {H}\{f_{1}(x)\}\;+\;a_{2}{\mathcal {H}\{f_{2}(x)\}$

Dilatação e deslocamento do eixo

Da expressão (1a), segue-se imediatamente que

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f(ax)\}\;=\;\operatorname {sgn}(a)\;\cdot \;{\hat {u}(ax)}$

onde sgn(a) é a chamada função sinal de a, e

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f(x\;+\;a)\}\;=\;{\hat {u}(x\;+\;a)}$

Convolução

Da expressão (1a), também se segue que

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f_{1}(x)\;*\;f_{2}(x)\}\;=\;{\mathcal {H}\{f_{1}(x)\}\;*\;f_{2}(x)\;=\;f_{1}\;*\;{\mathcal {H}\{f_{2}(x)\}$

e que

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f_{1}(x)\;*\;f_{2}(x)\}\;=\;-\;{\mathcal {H}\{f_{1}(x)\}\;*\;{\mathcal {H}\{f_{2}(x)\}$

Comutatividade com relação à diferenciação

Da expressão (5), aplicando-se a fórmula de Leibniz para a derivação de uma integral, segue-se que

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\;{\mathcal {H}\{f(x)\}\;=\;{\frac {d}{dx}\left(\;-\;{\frac {1}{\pi }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x\;-\;u)}{u}\;du\right)\;=\;-\;{\frac {1}{\pi }\;\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial }{\partial x}\left({\frac {f(x\;-\;u)}{u}\right)\;du}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\;{\mathcal {H}\{f(x)\}\;=\;-\;{\frac {1}{\pi }\;\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{u}\cdot {\frac {d}{dx}f(x\;-\;u)\cdot du\;=\;{\mathcal {H}\{\frac {d}{dx}\;f(x)\}$

Invariância

O operador ${\displaystyle {\mathcal {H}$ apresenta propriedades de invariância quando combinado com outros operadores; por exemplo, o operador da transformação de Fourier, ${\displaystyle {\mathcal {F}$:

${\displaystyle {\mathcal {H}\;=\;{\mathcal {F}^{-1}\cdot {\mathcal {H}\cdot {\mathcal {F}\;\;\;\;\;(6b)}$

Essa propriedade deriva do fato de a transformada de Hilbert da função impulso unitário ser igual ao núcleo de Hilbert h(x).

Relação com as equações de Cauchy-Riemann

O fato de uma função ${\displaystyle u(x)}$ e sua transformada ${\displaystyle {\hat {u}(x)}$ estarem relacionadas de forma tal que a função complexa ${\displaystyle f(z)\;=\;u(z)+i{\hat {u}(z)}$ é analítica no semi-plano superior complexo implica que as equações de Cauchy-Riemann são obedecidas, ou seja, pode-se escrever:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}\;=\;{\frac {\partial {\hat {u}{\partial y}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}\;=\;-{\frac {\partial {\hat {u}{\partial x}$

${\displaystyle \forall z\;=\;x\;+\;iy\;|\;y\;\geq \;0}$

Em consequência, se derivarmos novamente as equações acima, obteremos

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}\;=\;{\frac {\partial ^{2}{\hat {u}{\partial x\partial y}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}\;=\;-{\frac {\partial ^{2}{\hat {u}{\partial y\partial x}$

assim,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}\;+\;{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}\;=\;0\;\;\;\;\;(6c)}$

De forma similar, podemos obter também

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\hat {u}{\partial x^{2}\;+\;{\frac {\partial ^{2}{\hat {u}{\partial y^{2}\;=\;0\;\;\;\;\;(6d)}$

Como a função u(z) é real, temos obrigatoriamente

${\displaystyle u(x,0)\;=\;u(x)\;\;\;\;\;(6e)}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }u(x,y)\;=\;\lim _{x\to -\infty }u(x,y)=\lim _{y\to \infty }u(x,y)\;=\;0\;\;\;\;\;(6f)}$

As equações (6c) e (6d) são exemplos da conhecida Equação de Laplace. Assim, a tarefa de encontrar o par de funções ${\displaystyle u(x)}$ e ${\displaystyle {\hat {u}(x)}$ equivale a resolver um sistema de equações de Laplace com as condições de contorno dadas pelas equações (6e) e (6f).^[4]

Interpretações físicas

Interpretação no domínio do tempo

Se, na expressão (6a), a variável independente for o tempo, a interpretação imediata é que a função û(t) é a resposta de um dispositivo a um sinal de entrada descrito por f(t). A função h(t) seria, nesse caso, a resposta desse dispositivo a um impulso unitário na sua entrada; tal resposta caracterizaria o dispositivo como um filtro linear invariante no tempo. Esse dispositivo é chamado filtro de Hilbert ou transformador de Hilbert (Hilbert transformer).^[2]

Interpretação no domínio da frequência

Se denotarmos a transformada de Fourier^{[nota 6]} de uma função f(x) por ${\displaystyle {\mathcal {F}\{f(x)\}\;=\;G(\omega )}$, a sua aplicação ao núcleo de Hilbert h(x) dará

${\displaystyle {\mathcal {F}\{h(x)\}\;=\;i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )\;\;\;\;\;(7)}$

Podemos calcular, a partir das expressões (6a) e (7), a transformada de Fourier de uma função û(x) qualquer, que denotaremos por ${\displaystyle {\hat {G}(x)}$

${\displaystyle {\hat {G}(x)\;=\;{\mathcal {F}\{\hat {u}(x)\}\;=\;{\mathcal {F}\{f(x)*h(x)\}$

${\displaystyle {\hat {G}(x)\;=\;{\mathcal {F}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {F}\{h(x)\}\;=\;G(\omega )\cdot (i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))}$

${\displaystyle {\hat {G}(x)\;=\;{\mathcal {F}\{\hat {u}(x)\}\;=\;\left\{\begin{matrix}-iG(\omega )&:&\omega <0\\0&:&\omega =0\\iG(\omega )&:&\omega >0.\end{matrix}\right.\;\;\;\;\;(8a)}$

Podemos interpretar (8a) no domínio da frequência, da seguinte maneira: a aplicação da transformada de Hilbert a uma função f(t) faz com que suas componentes harmônicas negativas sejam multiplicadas por -i, o que equivale a um deslocamento de ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}$ na sua fase, que suas componentes harmônicas positivas sejam multiplicadas por i, o que equivale a um deslocamento de fase de ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}$, e que a componente contínua (ω=0) seja eliminada. A partir dessa propriedade, vê-se claramente por que a aplicação dessa filtragem duas vezes sucessivas resulta exatamente na inversão do sinal original: todas as componentes são multiplicadas por i² = -1.^[2][1]

Em análise de sinais, como a transformação de Hilbert apenas muda a fase de um sinal de entrada f(t) (sendo que, nos casos práticos, t sempre é maior que 0), a densidade de energia espectral do sinal de saída û(t), que é dada por |û(t)|, é a mesma daquela do sinal de entrada, que é dada por |f(t)| ou ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }F(\omega )}$, de acordo com Lord Rayleigh (ver também o Teorema de Parseval e o Teorema de Plancherel, que são generalizações posteriores do teorema original de Rayleigh).^[2][5]

Da expressão (8a), segue que, se o sinal f(t) e sua transformada û(t) forem expressos pelas correspondentes séries de Fourier, os componentes b_k de uma serão iguais aos componentes a_k da outra, a menos do sinal, para todo k > 0. Uma maneira informal de enunciar isso é dizer que a transformação de Hilbert troca os senos pelos cossenos na representação no domínio da frequência.

Uma consequência prática da expressão (8a) é que a transformada de Hilbert de um sinal f(t) pode ser computada através da transformada de Fourier deste (ver Cálculo por métodos numéricos).

Causalidade

Diz-se que um filtro é causal quando sua saída num tempo t_k não depende de nenhum valor de t > t_k. Acredita-se que todos os sistemas físicos possuam essa propriedade. Assim, um filtro, para ser construído fisicamente, precisa ser causal.^{[nota 7]}

Uma propriedade que se segue diretamente da definição acima é que a resposta desse filtro ao impulso é nula para t < 0.

Com respeito à causalidade, a transformação de Hilbert possui as seguintes propriedades:

• Como a resposta do filtro de Hilbert ao impulso não é nula para t < 0, ele não é um filtro causal.
• Demonstra-se que, se a transformada de Hilbert da resposta em frequência de um filtro existir, isso é condição necessária e suficiente para que tal filtro seja um filtro causal.^[6]

Implementação física de transformadores de Hilbert

Como um filtro de Hilbert não é um sistema causal, ele é fisicamente irrealizável. Podem-se construir, contudo, filtros de Hilbert analógicos ou digitais com resposta aproximada. A resposta de tais filtros, além de apresentar distorções em relação à resposta do filtro ideal, dada pela equação (8a), exibe necessariamente um atraso com relação ao sinal de entrada. Esses dois pontos, atraso e precisão na resposta, constituem então critérios de comparação entre diferentes implementações de um filtro de Hilbert. Outros critérios importantes são a estabilidade com o envelhecimento dos componentes e imunidade a perturbações externas, como variações de temperatura, vibração, etc. Em geral, um filtro digital é mais fácil e mais barato para se implementar do que um filtro analógico com as mesmas características de atraso, precisão, estabilidade e imunidade. A base para a construção de um filtro de Hilbert digital é a Transformada Discreta de Hilbert, tratada mais abaixo.

A resposta em frequência e em fase de um filtro de Hilbert ideal é dada pelas fórmulas seguintes:

${\displaystyle A(f)\;=\;\left\{\begin{matrix}-i&:&f<0\\0&:&f=0\\i&:&f>0.\end{matrix}\right.\;\;\;\;\;(8b)}$

${\displaystyle \phi (f)\;=\;\operatorname {Arg} ({\hat {h}(t))\;=\;{\frac {\pi }{2}\cdot \operatorname {sgn}(f)\;\;\;\;\;(8c)}$

onde f é a frequência do sinal de entrada, A é o valor do sinal de saída e φ, seu ângulo de fase. Ou seja, o sinal de entrada é dado pela equação ${\displaystyle I(t)\;=\;e^{2\pi ft}$ e o sinal de saída por ${\displaystyle O(t)\;=\;Ae^{2\pi ft\;+\;\phi }$. Arg(x) é a função argumento principal e h(t) é o núcleo de Hilbert, cuja transformada é ${\displaystyle {\hat {h}(t)}$.^[9]

Outras propriedades importantes

Conjugado harmônico

Se denotarmos o valor da transformada de Fourier para um dado valor de x=x₁ como

${\displaystyle \left.G(x)\right|_{x=x1}\;=\;G(x_{1})\;=\;z_{1}\;=\;a\;+\;ib}$

então, de (8a), temos que

${\displaystyle \left.{\hat {u}(x)\right|_{x=x1}\;=\;{\hat {u}(x_{1})\;=\;\left\{\begin{matrix}b-ia&:&x<0\\0&:&x=0\\-b+ia&:&x>0.\end{matrix}\right.\;\;\;\;\;(9a)}$

Vemos, de (9a), que transformação de Hilbert efetua a troca entre as partes real e imaginária de uma função complexa. Essa propriedade é útil porque permite seu uso para encontrar as componentes conjugadas de uma dada função f(x)^[2] (ver os itens Funções conjugadas e Interpretação no domínio da frequência neste verbete).

Simetria e ortogonalidade

Em aplicações físicas, em geral f(x) é uma função real, e, como consequência, o mesmo acontece com û(x). Como a transformada de Fourier exibe simetria hermitiana para valores reais, ou seja,

${\displaystyle G(-\omega )\;=\;G^{*}(\omega )\;\;\ \forall \;\omega \in \mathbb {R} }$

isso se verifica também para ${\displaystyle {\hat {G}(x)\;=\;{\mathcal {F}\{\hat {u}(x)\}$. Assim, se û(x) for uma função par, û(-x)=û(x), e a condição ${\displaystyle {\hat {G}(-x)\;=\;G^{*}(x)}$ implica ${\displaystyle {\hat {G}(x)\;=\;G^{*}(x)}$, o que só é possível se ${\displaystyle {\hat {G}(x)}$ for uma função real. Inversamente, se û(x) for uma função ímpar, û(-x)=-û(x), e a condição ${\displaystyle {\hat {G}(-x)\;=\;G^{*}(x)}$ implica ${\displaystyle {\hat {G}(x)\;=\;-\;G^{*}(x)}$, o que só é possível se ${\displaystyle {\hat {G}(x)}$ for uma função de valores puramente imaginários.

Além disso, a expressão (8a) mostra diretamente que, se ${\displaystyle {\hat {G}(x)}$ for uma função real, G(ω) será uma função puramente imaginária e que, se ${\displaystyle {\hat {G}(x)}$ for uma função puramente imaginária, G(ω) será uma função real. Mas a simetria hermitiana da transformada de Fourier obriga f(x) a ser uma função par no primeiro caso, e ímpar no segundo. O resultado é que, quando û(x) for uma função par, f(x) será uma função ímpar; quando û(x) for uma função ímpar, f(x) será uma função par.

A partir dessas propriedades de, pode-se provar facilmente que as funções f(x) e û(x) são ortogonais, pois

${\displaystyle E_{M}\{f(x),{\hat {u}(x))\}\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot {\hat {u}(x)\;dx\;=\;0\;\;\;\;\;(9b)}$

uma vez que o integrando será sempre uma função ímpar.^[1][9] Em Física, a variável x tem dimensão temporal, e a grandeza E_M é chamada a energia mútua das funções f(t) e û(t).^[9]

Transformada de um produto de funções

Se a função f(x) for o produto de duas funções f₁(x) e f₂(x), então G(ω)=G₁(ω)*G₂(ω) (pelo teorema da convolução). Podemos escrever G₂(ω)=G₂(ω)·(u₁(ω) + u₁(-ω)), por exemplo, onde u₁(x) é a função degrau unitário ((u₁(x) + u₁(-x) = 1). Assim, G(ω)=G₁(ω)*[G₂(ω)·u₁(ω) + G₂(ω)·u₁(-ω)]=G₁(ω)*G₂(ω)·u₁(ω) + G₁(ω)*G₂(ω)·u₁(-ω)]. Evidentemente, o primeiro termo é nulo para ω<0, e o segundo termo é nulo para ω>0. Daí, segue-se que

${\displaystyle {\hat {G}(x)\;=\;\left[G_{1}(\omega )*G_{2}(\omega )\cdot u_{1}(\omega )\;+\;G_{1}(\omega )*G_{2}(\omega )\cdot u_{1}(-\omega )\right]\cdot (i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))}$

${\displaystyle {\hat {G}(x)\;=\;i\cdot (1)\cdot G_{1}(\omega )*G_{2}(\omega )\cdot u_{1}(\omega )\;+\;i\cdot (-1)\cdot G_{1}(\omega )*G_{2}(\omega )\cdot u_{1}(-\omega )}$

Desenvolvendo a expressão, temos

${\displaystyle {\hat {G}(x)\;=\;G_{1}(\omega )*\left[iG_{2}(\omega )\cdot u_{1}(\omega )\;-\;iG_{2}(\omega )\cdot u_{1}(-\omega )\right]\;=\;G_{1}(\omega )*\left[i\cdot G_{2}(\omega )\cdot \left(u_{1}(\omega )\;-\;u_{1}(-\omega )\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {G}(x)\;=\;G_{1}(\omega )*\left[i\cdot G_{2}(\omega )\cdot \operatorname {sgn}(\omega )\right]\;=\;G_{1}(\omega )*{\hat {G}_{2}(\omega )}$

Podemos, então, escrever

${\displaystyle {\mathcal {F}\{\mathcal {H}\{f_{1}(x)\cdot f_{2}(x)\}\}\;=\;{\hat {G}(x)\;=\;{\mathcal {F}\{f_{1}(x)\}*{\mathcal {F}\{\mathcal {H}\{f_{2}(x)\}\}\;=\;{\mathcal {F}\{f_{1}(x)\}\cdot {\mathcal {H}\{f_{2}(x)\}\}$

Assim, as funções ${\displaystyle {\mathcal {H}\{f_{1}(x)\cdot f_{2}(x)\}$ e ${\displaystyle f_{1}(x)\cdot {\mathcal {H}\{f_{2}(x)\}$ possuem a mesma transformada de Fourier. Devido à propriedade de linearidade desta, podemos dizer que essas funções são idênticas, a menos da adição de uma função f₀(x) cuja transformada de Fourier fosse nula. De acordo com o Teorema de Lerch, uma função com essa propriedade teria que ser uma função nula,^[10] portanto podemos desprezá-la em aplicações práticas e escrever:

${\displaystyle {\mathcal {H}\{f_{1}(x)\cdot f_{2}(x)\}\;=\;f_{1}(x)\cdot {\mathcal {H}\{f_{2}(x)\}\;\;\;\;\;(10a)}$

A expressão (10a) é conhecida como identidade de Bedrosian.^[11] O problema de quais são as condições que as funções f₁(x) e f₂(x) precisam atender para que a transformada de Hilbert de f(x) exista ainda está em aberto, mas a restrição mais usada (ou seja, a menos estrita) é que existam valores x₁ e x₂ tais que f₁(x)=0 para todo x>x₁, que f₂(x)=0 para todo x>x₂, e que x₂>x₁.^{[nota 8][12][13]} Uma condição mais estrita, mas mais simples, é que f₁ e f sejam funções analíticas.

De acordo com essa expressão, quando precisarmos computar a transformada de Hilbert de um produto de duas funções, só será preciso calcular a transformada da função de alta frequência e multiplicá-la pela outra.

Outra consequência da expressão (10a) é que o produto dessas duas funções pode ser expresso como

${\displaystyle f_{1}(x)\cdot f_{2}(x)\;=\;-\;i\cdot {\mathcal {H}\{f_{1}\}\cdot f_{2}(x)\;\;\;\;\;(10b)}$

Autocorrelação

De (8a) segue-se também que f(x) e û(x) têm a mesma função de autocorrelação, que é definida como a convolução de uma função com seu conjugado complexo:

${\displaystyle R_{ff}(\tau )=\left(f(x)*f^{*}(-x){\frac {}{}\right)(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x\;+\;\tau )\cdot f^{*}(x)\;dx}$^[14]

Representações alternativas para a função f(x)

Filtros passa-baixas e passa-altas

Uma função qualquer f(x) pode ser expressa em função de duas componentes f_L(x) e f_H(x) com o auxílio da função seno cardinal:

${\displaystyle f(x)\;=\;f_{L}(x)\;+\;f_{H}(x)\;\;\;\;\;(11a)}$

com

${\displaystyle f_{L}(x)\;=\;f(x)\;*\;2f_{c}\;\operatorname {sinc} (2f_{c}x)\;=\;f(x)\;*\;2f_{c}\;{\frac {\sin(\pi \cdot 2f_{c}x)}{\pi \cdot 2f_{c}x}\;=\;f(x)\;*\;{\frac {\sin(2\pi f_{c}x)}{\pi x}\;\;\;\;\;(11b)}$

e, evidentemente,

${\displaystyle f_{H}(x)\;=\;f(x)\;-\;f_{L}(x)\;=\;f(x)\;-\;\left[f(x)\;*\;{\frac {\sin(2\pi f_{c}x)}{\pi x}\right]\;=\;f(x)\;*\;\left[\delta (x)\;-\;{\frac {\sin(2\pi f_{c}x)}{\pi x}\right]\;\;\;\;\;(11c)}$

onde δ(x) é a função impulso unitário. A idéia é que f_L(x) contenha todas as componentes de frequências baixas (ω<2πf_c) do sinal, e f_H(x) contenha as componentes de frequências altas (ω>2πf_c). Para verificar que isso realmente acontece, basta calcular as transformadas de Fourier

${\displaystyle {G_{L}(\omega )={\mathcal {F}\{f_{L}(x)\}={\mathcal {F}\left\{f(x)*{\frac {\sin(2\pi f_{c}x)}{\pi x}\right\}={\mathcal {F}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {F}\left\{\frac {\sin(2\pi f_{c}x)}{\pi x}\right\}=G(\omega )\cdot \operatorname {rect} (2f_{c})}$

onde rect(x) é a função retangular:

${\displaystyle \operatorname {rect} (2f_{c})=\sqcap (2f_{c})={\begin{cases}0&{\text{if }|x|>f_{c}\\[3pt]{\frac {1}{2}&{\text{if }|x|=f_{c}\\[3pt]1&{\text{if }|x|<f_{c}\end{cases}$

De maneira similar,

${\displaystyle G_{H}(\omega )={\mathcal {F}\{f_{H}(x)\}={\mathcal {F}\left\{f(x)*\left[\delta (x)-{\frac {\sin(2\pi f_{c}x)}{\pi x}\right]\right\}=G(\omega )\cdot \left[1-\operatorname {rect} (2f_{c})\right]}$

A função sinc(x), portanto, funciona como um filtro passa-baixas ideal.

Funções conjugadas

Uma função qualquer f(x) pode ser expressa de forma alternativa em função de duas componentes conjugadas f₁(x) e f₂(x):

${\displaystyle f(x)\;=\;f_{1}(x)\;+\;f_{2}(x)\;\;\;\;\;(12a)}$

com

${\displaystyle f_{1}(x)\;=\;{\frac {1}{2}\left(f(x)\;+\;ig(x)\right)\;\;\;\;\;(12b)}$

${\displaystyle f_{2}(x)\;=\;{\frac {1}{2}\left(f(x)\;-\;ig(x)\right)\;\;\;\;\;(12c)}$

É fácil ver que a expressão (12a) é válida para qualquer g(x). No entanto, se fizermos g(x) = û(x), o espectro de frequências de f₁(x) e f₂(x) terá características muito interessantes, pois

${\displaystyle {\mathcal {F}\{f_{1}(x)\}\;=\;G_{1}(\omega )\;=\;{\mathcal {F}\{\frac {1}{2}\left(f(x)\;+\;i{\hat {u}(x)\right)\}\;=\;{\frac {1}{2}\left(G(\omega )\;+\;i{\hat {G}(x)\right)}$

${\displaystyle G_{1}(\omega )\;=\;{\frac {1}{2}\left(G(\omega )\;+\;i(i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )\cdot G(\omega ))\right)\;=\;G(\omega )u(\omega )\;\;\;\;\;(12d)}$

Similarmente, teremos

${\displaystyle {\mathcal {F}\{f_{2}(x)\}\;=\;G_{2}(\omega )\;=\;{\frac {1}{2}\left(G(\omega )\;-\;i(i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )\cdot G(\omega )\right)\;=\;G(\omega )u(-\omega )\;\;\;\;\;(12e)}$

O exame das expressões (12d) e (12e) revela que, nessa decomposição, uma das funções é composta por todas as componentes com frequências positivas de f(x), e a outra, por todas as componentes com frequências negativas. Por isso, essas funções são frequentemente notadas como f₊(x) e f_-(x).

Cálculo por métodos numéricos

O cálculo da transformada de Hilbert através da integração direta, a partir de alguma das suas fórmulas de definição, funciona bem para funções que não apresentem descontinuidades e que decresçam rapidamente com o aumento do valor de x. Para outros casos, devem-se empregar artifícios; um deles é usar polinômios de Hermite para calcular as integrais. Em todos os casos, como a distribuição de energia das funções f(x) e û(x) é a mesma (como mostrado aqui), o valor da energia de f(x) e de û(x), em cada frequência, pode ser calculado e comparado, de forma a obter-se uma estimativa da qualidade da aproximação resultante do método de cálculo escolhido.^[5]

Da expressão (8a), segue que a transformada de Hilbert de um sinal f(t) pode ser computada através da transformada de Fourier deste, da seguinte maneira:^[5]

1. Em primeiro lugar, expressa-se f(t) na forma de uma série de Fourier;
2. Depois, trocam-se os coeficientes dos componentes em senos pelos coeficientes em cossenos e vice-versa (isso equivale a aplicar os desvios de fase de ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}$ e ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}$ onde necessário); a componente DC deve ser desprezada.

Outro método que pode ser usado é o seguinte:

1. Em primeiro lugar, calcula-se a transformada de Fourier de f(t) (por exemplo, por meio da Transformada Rápida de Fourier;
2. Depois, multiplicam-se os coeficientes dos componentes de frequências negativas por -1, deixando-se os demais inalterados; a componente DC deve ser desprezada.
3. Calcula-se a transformada inversa de Fourier do resultado.

Isso é possível devido à propriedade de invariância com relação ao operador da transformação de Fourier.

Pode-se também usar um método similar para calcular û(t) a partir da Transformada de Hartley, conforme se vê em Bracewell (2000).^[1]

Aplicações

Modulação

A forma geral de uma onda modulada em amplitude (AM) é

${\displaystyle s(t)\;=\;A_{c}\left[1\;+\;K_{a}m(t)\right]\cdot \cos(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )\;\;\;\;\;(13a)}$

Um inconveniente da modulação em amplitude é que o espectro de s(t) é simétrico em relação à frequência da portadora. Isso implica que o sinal contém informação redundante, que ocupa banda passante e gasta energia dos transmissores desnecessariamente. Por isso, em lugar da forma padrão, também chamada de DSB-FC (bandas laterais duplas com portadora, ing. double side banded - full carrier), é vantajoso adotar a forma SSB (banda lateral simples, ing. single side banded).

Teoricamente, poder-se-ia eliminar a banda lateral por meio de um filtro convencional. No entanto, tal filtro teria que ter um fator de qualidade muito grande, com largura de banda estreita e atenuação elevada, o que torna difícil construí-lo a partir de um circuito eletrônico convencional. Uma alternativa é usar um filtro de Hilbert.

De acordo com as expressões (10) e (11), podemos escrever, considerando f(t) = A_c [1 + K_am(t)] (o sinal modulador), e assumindo que, em aplicações práticas, as frequências nele presentes são sempre muito menores que f_c:

${\displaystyle {\mathcal {H}\{s(t)\}\;=\;{\hat {s}(t)\;=\;f(t)\cdot {\mathcal {H}\{\cos(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )\}\;=\;f(t)\cdot \left(-\;\sin(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )\right)\;\;\;\;\;(13b)}$

Em primeiro lugar, expressa-se o sinal s(t) em função de duas componentes de frequências altas e baixas s_U(t) e s_L(t), ambas derivadas de f(t) e sua transformada, û(t):

${\displaystyle s(t)\;=\;f(t)\cdot \cos(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )\;=\;s_{U}(t)\;+\;s_{L}(t)\;\;\;\;\;(13c)}$

sendo

${\displaystyle s_{U}(t)\;=\;{\frac {1}{2}\left(f(t)\cdot \cos(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )\;-\;{\hat {u}(t)\cdot \sin(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )\right)\;\;\;\;\;(13d)}$

${\displaystyle s_{L}(t)\;=\;{\frac {1}{2}\left(f(t)\cdot \cos(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )\;+\;{\hat {u}(t)\cdot \sin(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )\right)\;\;\;\;\;(13e)}$

Desenvolvendo s_U(t), teremos

${\displaystyle s_{U}(t)\;=\;{\frac {1}{2}\left[f(t)\cdot {\frac {1}{2}\left(e^{i(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )}\;+\;e^{-i(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )}\right)\;-\;{\hat {u}(t)\cdot {\frac {-i}{2}\left(e^{i(2\pi f_{c}t\;-\;\theta )}\;-\;e^{-i(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )}\right)\right]}$

${\displaystyle s_{U}(t)\;=\;{\frac {1}{2}\left[{\frac {1}{2}\left(f(t)\;+\;i{\hat {u}(t)\right)\cdot e^{i(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )}\;+\;{\frac {1}{2}\left(f(t)\;-\;i{\hat {u}(t)\right)\cdot e^{-i(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )}\right]}$

De forma similar,

${\displaystyle s_{L}(t)\;=\;{\frac {1}{2}\left[{\frac {1}{2}\left(f(t)\;+\;i{\hat {u}(t)\right)\cdot e^{i(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )}\;-\;{\frac {1}{2}\left(f(t)\;-\;i{\hat {u}(t)\right)\cdot e^{-i(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )}\right]}$

Por inspeção das expressões (12a) a (12c), podemos escrever

${\displaystyle s_{U}(t)\;=\;{\frac {1}{2}\left[s_{+}(t)\cdot e^{i(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )}\;+\;s_{-}(t)\cdot e^{-i(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )}\right]\;\;\;\;\;(13f)}$

${\displaystyle s_{L}(t)\;=\;{\frac {1}{2}\left[s_{+}(t)\cdot e^{i(2\pi f_{c}t\;-\;\theta )}\;+\;s_{-}(t)\cdot e^{-i(2\pi f_{c}t\;+\;\theta )}\right]\;\;\;\;\;(13g)}$

De acordo com as propriedades da transformada de Fourier, a multiplicação pelo fator e^iῳt equivale a um deslocamento na frequência igual a ῳ. Nesse contexto, a comparação com as expressões (12d) e (12e) mostram que o espectro de s_U(t) possui apenas frequências com valores de (f - f_c) positivos, ou seja, f > f_c. O inverso vale para s_L.

Demodulação

A transformada de Hilbert pode ser usada para analisar um sinal s(t) que consiste de um produto de duas funções f(t) e g(t). Em aplicações práticas, uma delas é frequentemente uma oscilação de alta frequência e a outra é um sinal que contém informação útil e que se deseja destacar para análise. Nesse contexto, a primeira função é chamada de portadora e a outra, de função moduladora ou sinal modulante. Aqui suporemos que g(t) é a portadora e f(t), o sinal modulante.

Pode-se obter f(t) a partir de s(t) através da transformada de Hilbert, por meio da expressão:

${\displaystyle f(t)\;=\;s(t)\;+\;i{\hat {s}(t)\;\;\;\;\;(14a)}$

Essa operação é chamada de demodulação. Evidentemente, constitui o inverso da modulação, que consite em obter s(t) a partir de f(t).

Em engenharia, também se usa o termo sinal analítico forte para designar uma função analítica (ou regular ou holomorfa). Tal sinal pode ser escrito na forma geral s(t) = A(t)·e^φ(t), que representa um vetor de amplitude instantânea A e direção instantânea dada pelo ângulo de fase φ, ambos variando com o tempo. Essa representação é útil em diversas aplicações práticas.^{[nota 9]} |A(t)|, que é chamado de envelope ou envoltória da modulação, é sempre positivo, o que permite a plotagem de A(t) em escala logarítmica. Evidentemente, |A(t)| = |f(t)|·|g(t)|. Muitas vezes, é desnecessário obter f(t), sendo suficiente conhecer qual é o envelope porque, como |g(t)| em geral é conhecido, fica fácil a partir dele calcular |f(t)|.

O espectro de frequências de um sinal analítico forte só contém frequências positivas. A frequência instantânea pode ser calculada como

${\displaystyle \omega \;=\;2\pi \cdot {\frac {d}{dt}\;\phi (t)\;\;\;\;\;(14b)}$

Em casos onde uma análise mais profunda de A(t) se faz necessária, aplica-se a transformada de Fourier. Por exemplo, quando A(t) é uma função exponencial com mais de uma constante de amortecimento. Para um exemplo, ver Thrane e outros.^[15]

Fasor no domínio da frequência

Podemos escrever o espectro de frequências de um sinal na forma polar G(ω) = A(ω)·e^φ(ω), de maneira similar ao que se fez no item anterior com a representação no domínio do tempo. Se a correspondente função de transferência no domínio da frequência complexa for dada por

${\displaystyle F(s)\;=\;K\;{\frac {(s\;-\;a_{1})(s\;-\;a_{2})\ldots (s\;-\;a_{n})}{(s\;-\;b_{1})(s\;-\;b_{2})\ldots (s\;-\;b_{m})}$

onde K é uma constante, a₁, a₂ ... a_n são os zeros e b₁, b₂ ... b_m são os polos de F(s), pode-se escrevê-la também na forma

${\displaystyle F(s)\;=\;F_{a}(s)\cdot F_{\phi }(s)}$

onde F_a consiste da constante K e dos zeros e polos cuja parte real é negativa, e F_φ consiste dos demais. Nesse caso, cada polo de F_φ deve ser o conjugado de um dos zeros, ou seja,

${\displaystyle F_{\phi }(s)\;=\;{\frac {(s\;-\;c_{1})(s\;-\;c_{2})\ldots (s\;-\;c_{l})}{(s\;+\;c_{1}*)(s\;+\;c_{2}*)\ldots (s\;+\;c_{l}*)}$

A amplitude de F_φ = 1, e esses polos e zeros influenciam apenas a fase de F(s). F_a é frequentemente chamada de componente de mínima fase de F(s). Pode-se demonstrar que, se escrevermos F_a(ω) na forma polar F_a(ω) = A_a(ω)·e^φ_a(ω), então

${\displaystyle {\mathcal {H}\{\phi _{a}(\omega )\}\;=\;\ln \left[A_{a}(\omega )\right]\;\;\;\;\;(15)}$

Transformada Discreta de Hilbert

A Transformada Discreta de Hilbert (DHT, do inglês Discrete Hilbert Transform) aplica-se a funções definidas num espaço discreto como, por exemplo, o conjunto dos números inteiros. Pode-se definir essa transformação como a convolução de uma função qualquer f(t) com o núcleo de Hilbert h(t), com a única diferença de que neste caso trata-se da versão discreta do núcleo de Hilbert. A convolução, em casos práticos, será uma convolução circular, porque apenas um intervalo finito de tempo [t₀,t₁] reveste-se de interesse; a DHT, como resultado dessa convolução, será sempre uma função periódica, e o período τ será o tamanho desse intervalo: t₁ - t₀.

Relação com a Transformada Discreta de Fourier

Podemos estender a Transformada Discreta de Hilbert partindo-se da Transformada Discreta de Fourier, que é justamente a extensão da Transformada de Fourier para espaços discretos.

Uma transformada integral num espaço discreto consiste numa sequência finita de coeficientes p₀, p₁, p₂, ... p_n-1 para os quais existe uma fórmula de cálculo bem definida. Essa sequência será chamada aqui DHT. Também deve existir uma sequência análoga para a transformada inversa. Chamaremos a essa sequência DHT^-1. n é o tamanho da amostra.

A transformação é aplicada a uma sequência de valores q₀, q₁, q₂, ... q_n-1, que chamaremos aqui de Q. Q, DHT e DFT (do inglês Discrete Hilbert Transform) precisam ter o mesmo tamanho da amostra. Além disso, como autores diferentes adotam convenções diferentes para a transformada discreta de Fourier, é preciso escolher qual delas emprega. Aqui será usada a seguinte versão:

${\displaystyle DFT\{f(k)\}\;=\;G(k)\;=\;\sum _{k\;=\;0}^{n\;-\;1}f(k)\cdot e^{-i\omega }\;\;\;\;\;/\omega \;=\;2\pi f\;=\;2\pi {\frac {k}{n}f_{k}\;=\;\psi \cdot f_{k}$

onde f_k é uma frequência discreta, um inteiro no intervalo [0,n-1]. O espectro de G(k) resulta periódico, ou seja, G(k) = G(k+in), onde i é um inteiro positivo qualquer. A frequência de G(k) é frequência normalizada ψ, que se situa no intervalo [0,2π]; as componentes situadas no intervalo [0,π] são consideradas como tendo frequência positiva, e aquelas situadas no intervalo [π,2π] são consideradas componentes de frequência negativa.

A fórmula correspondente para a transformada inversa é a seguinte:

${\displaystyle DFT^{-1}\{G(k)\}\;=\;f(k)\;=\;{\frac {1}{n}\;\sum _{k\;=\;0}^{n\;-\;1}G(k)\cdot e^{i\omega }$.^[9]

Cálculo dos coeficientes

Pode-se calcular os coeficientes da DHT de uma das maneiras seguintes: a primeira através da transformada discreta de Fourier,

${\displaystyle DHT(k)\;=\;DFT^{-1}\{H(k)\cdot DFT\{Q(k)\}\}\;\;\;\;\;(16a)}$

e a segunda por meio da fórmula direta

${\displaystyle DHT(k)\;=\;\sum _{j\;=\;0}^{n\;-\;1}H^{-1}(k\;-\;j)\cdot Q(j)\;\;\;\;\;(16b)}$

onde H é outra sequência, que corresponde ao núcleo de Hilbert em forma discreta, e H^-1, sua inversa. Para n par, H(k) é dada por

${\displaystyle H(k)\;=\;\left\{\begin{matrix}0&:&\psi \;=\;0\;\;\;(k\;=\;0)\\i&:&0\;<\;\psi \;<\;\pi \;\;\;(0\;<\;k\;<\;{\frac {n}{2})\\0&:&\psi =\pi \;\;\;(k\;=\;{\frac {n}{2})\\-i&:&\pi <\psi \;<\;2\pi \;\;\;({\frac {n}{2}\;<\;k\;<\;n).\end{matrix}\right.}$

e para n ímpar, por

${\displaystyle H(k)\;=\;\left\{\begin{matrix}0&:&\psi \;=\;0\;\;\;(k\;=\;0)\\i&:&0\;<\;\psi \;\leq \;\pi \;\;\;(0\;<\;k\;\leq \;{\frac {n\;-\;1}{2})\\-i&:&\pi <\psi \;<\;2\pi \;\;\;({\frac {n\;-\;1}{2}\;<\;k\;<\;n).\end{matrix}\right.)}$

Em qualquer caso, vale a fórmula concisa seguinte:

${\displaystyle H(k)\;=\;i\cdot \operatorname {sgn} \left({\frac {n}{2}\;-\;k\right)\cdot \operatorname {sgn}(k)\;\;\;\;\;(16c)}$

Quanto a H^-1, valem as fórmulas seguintes:

${\displaystyle H^{-1}(k)\;=\;\left\{\begin{matrix}-\;{\frac {2}{n}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}\;k\right)\cdot cot\left({\frac {\pi }{n}\;k\right)&:&n\;{\text{par}\;\land \;k\;>\;0\\-\;{\frac {1}{n}\cdot \left[cot\left({\frac {\pi }{n}\;k\right)\;-\;{\frac {\cos(\pi k)}{\sin \left({\frac {\pi k}{n}\right)}\right]&:&n\;{\text{impar}\;\land \;k\;>\;0\\0&:&k\;=\;0.\end{matrix}\right.\;\;\;\;(16d)}$

Para a transformação inversa, usamos

${\displaystyle DHT^{-1}(k)\;=\;DFT\{H^{-1}(k)\cdot DFT^{-1}\{DHT(k)\}\}\;\;\;\;\;(17a)}$

ou

${\displaystyle DHT^{-1}(k)\;=\;\sum _{j\;=\;0}^{n\;-\;1}H(k\;-\;j)\cdot DHT(j)\;\;\;\;\;(17b)}$

As expressões (16a) e (16b) são versões discretas das expressões (5) e (6b). As expressões (16b) e (17b) são convoluções discretas, isto é, convoluções num domínio discreto; nessas expressões, H(k-j) e H^-1(k-j) são matrizes n x n, pois os elementos dependem de k e de j. As expressões (16a) e (17a) são mais usadas na prática, pois DFT e DFT^-1 podem ser calculadas de forma muito eficiente através do algoritmo da Transformada Rápida de Fourier (FFT).^[5][3][9]

A tabela abaixo confronta os conceitos envolvidos nas transformações de Hilbert nos domínios contínuo e discreto, para ilustrar as definições acima.

Tabela 2 - Transformada de Hilbert nos domínios contínuo e discreto

Conceito	Contínuo	Discreto
Domínio	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {N} }$
Variável	${\displaystyle x}$	${\displaystyle k}$
Função original	${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle Q(k)}$
Função transformada	${\displaystyle {\hat {u}(x)}$	${\displaystyle DHT(k)}$
Espectro de frequências	${\displaystyle G(\omega )}$	${\displaystyle DFT(k)}$
Faixa	${\displaystyle -\infty \;\leq \;x\;\leq \;\infty }$	${\displaystyle 0\;\leq \;k\;\leq \;n\;-\;1}$
Núcleo da transformação	${\displaystyle h(x)\;=\;-\;{\frac {1}{\pi x}$	${\displaystyle H(k)}$

A amostragem deve ser feita em intervalos de tempo iguais; chamaremos aqui de t_a a esse intervalo de amostragem. A teoria exige que a frequência da amostragem seja feita com uma frequência de pelo menos o dobro da maior frequência presente no sinal de entrada. Em outras palavras, se denotarmos tal frequência por f_max, é preciso que^[5]

${\displaystyle t_{a}\;\leq \;{\frac {1}{2f_{max}\;\;\;\;\;(18a)}$

O núcleo discreto de Hilbert

Para um número de amostras muito grande, pode-se usar a expressão simplificada

${\displaystyle H^{-1}(k)\;=\;\left\{\begin{matrix}-\;{\frac {2}{\pi n}&:&k\;>\;0\\0&:&k\;=\;0.\end{matrix}\right.\;\;\;\;(16e)}$

que se obtém tomando o limite n → ∞ na expressão (16d). Essa aproximação não funciona bem para valores pequenos de n, porque a convergência do cálculo através da expressão (16b) não é uniforme.^[3]

Uma outra fórmula que aparece na literatura é a seguinte:

${\displaystyle H^{-1}(k)\;=\;\left\{\begin{matrix}-\;{\frac {2}{\pi n}\sin ^{2}(\pi n)&:&k\;>\;0\\0&:&k\;=\;0.\end{matrix}\right.\;\;\;\;(16f)}$^[4]

que é um compromisso entre a expressão exata (16d) e a aproximação mais simples (16e).

No anexo, encontram-se exemplos de derivação de algumas DHTs.

A derivação da transformada de Hilbert por meio da FFT tem o inconveniente de produzir serrilhamento (aliasing). Isso ocorre porque a expressão (16c) é descontínua em k=0, o que implica na existência de frequências infinitas no espectro. O serrilhamento resultante é explicado teoricamente pelo Fenômeno de Gibbs. Uma outra forma de entender esse efeito é lembrar que a FFT é calculada em um intervalo finito τ, por isso exige-se que a função de entrada passe primeiro por um filtro passa-baixas de forma a eliminar as componentes de alta frequência, ou seja, as componentes com período inferior a 2τ; a aplicação de um sinal não devidamente filtrado à FFT inevitavelmente produzirá efeitos espúrios.

Uma maneira é calcular a transformada por meio de um algoritmo de filtro digital. A resposta em frequência ideal do filtro é então definida a partir da equação

${\displaystyle H(i\omega )\;=\;\left\{\begin{matrix}i&:&0<\omega <\pi \\-i&:&-\pi <\omega <0.\end{matrix}\right.\;\;\;\;(16g)}$

e as técnicas usuais são empregadas de forma a obter um filtro com uma resposta o mais próxima possível à ideal. Por meio desta abordagem, obtém-se uma aproximação para û(t) que apresenta ondulações moderadas em torno da descontinuidade. Tais dispositivos são conhecidos, conforme já mencionado acima, como filtros ou transformadores de Hilbert.^{[4][nota 10]}

Propriedades

A DHT possui algumas propriedades idênticas às da Transformada de Hilbert contínua, em particular as seguintes:

• Relação com a transformada inversa
• Linearidade
• Convolução
• Comutatividade com relação à diferenciação
• Invariância

Em outros casos, o comportamento das duas versões da transformada é sensivelmente diferente. A DHT, como se pode perceber a partir da equação (16c), tem sempre o valor 0 para ψ = 0 (k = 0), que corresponde à componente de frequência zero de f(t)/f(k). Além disso, para n par, a componente ψ = π, que corresponde à frequência mais alta presente no espectro, também se anula. Por isso, as densidades espectrais de f(k) e de G(k), obtidas através do teorema de Parseval, não são idênticas no caso geral.^[9]

Extensões para outros espaços

Extensão para espaços multidimensionais

A transformada de Hilbert, definida no espaço L² por meio da equação (1a), pode ser expandida para espaços multidimensionais Lⁿ, com n > 2, da mesma forma que se faz com a transformada de Fourier. Num tal espaço, o domínio deixa de ser um espaço unidimensional e passa a ser um espaço L^n-1. A variável independente x passa a ser uma matriz de n-1 dimensões, que denotaremos por x; as "colunas" de x são os vetores x_i, com 1 ≤ i ≤ n-1.

A transformada de Hilbert de dimensão n é dada pela expressão:

${\displaystyle {\mathcal {H}_{n}\{f(\mathbf {x} )\}\;=\;{\hat {u}(\mathbf {x} )\;=\;{\frac {1}{\pi ^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\dots \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(\mathbf {u} )}{\prod _{k\;=\;1}^{n}(u_{k}\;-\;x_{k})}\;\prod _{k\;=\;1}^{n}du_{k}\;\;\;\;\;(19a)}$

onde os símbolos de integrais indicam o valor principal de Cauchy de cada integração. A transformada inversa será dada por

${\displaystyle {\mathcal {H}_{n}^{-1}\{\hat {u}(\mathbf {x} )\}\;=\;f(\mathbf {x} )\;=\;{\frac {(-1)^{n}{\pi ^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\dots \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\hat {u}(\mathbf {u} )}{\prod _{k\;=\;1}^{n}(u_{k}\;-\;x_{k})}\;\prod _{k\;=\;1}^{n}du_{k}\;\;\;\;\;(20a)}$

Vemos que a transformação será anti-simétrica para n ímpar e simétrica para n par; a transformada de Hilbert definida pela equação (1a) pode ser considerada um caso especial (n=1) da transformação n-dimensional.

Também é possível definir a transformação através da convolução (multidimensional) com o núcleo de Hilbert de dimensão n; por exemplo, para n = 3

${\displaystyle {\mathcal {H}_{n}\{f(\mathbf {x} )\}\;=\;{\hat {u}(\mathbf {x} )\;=\;f(\mathbf {x} )\;***\;h_{3}(\mathbf {x} )\;\;\;\;\;(19b)}$

com h₃(x) sendo o núcleo de Hilbert de dimensão 3:

${\displaystyle h_{3}(\mathbf {x} )\;=\;-{\frac {1}{\pi ^{3}x_{1}x_{2}x_{3}$

Paridade do sinal de entrada

Uma função f(x), com x tendo n dimensões, pode ser decomposta em uma soma de 2ⁿ componentes, cada uma sendo uma função par ou uma função ímpar de uma das variáveis de entrada x_i, 1 ≤ i ≤ n. Por exemplo, para n = 3

${\displaystyle f(\mathbf {x} )\;=\;f(x_{1},x_{2},x_{3})\;=\;f_{ppp}(x_{1},x_{2},x_{3})\;+\;f_{ppi}(x_{1},x_{2},x_{3})\;+\;f_{pip}(x_{1},x_{2},x_{3})\;+\;}$

${\displaystyle \;+\;f_{pii}(x_{1},x_{2},x_{3})\;+\;f_{ipp}(x_{1},x_{2},x_{3})\;+\;f_{ipi}(x_{1},x_{2},x_{3})\;+\;f_{iip}(x_{1},x_{2},x_{3})\;+\;f_{iii}(x_{1},x_{2},x_{3})}$

onde f_ppp é uma função par para as 3 variáveis, f_ppi é uma função par para as variáveis x₁ e x₂ e ímpar para a variável x₃, e assim por diante. Define-se ainda a distância D(f₁,f₂) entre duas componentes f₁ e f₂ como o número de subscritos diferentes na identificação de ambas; por exemplo, D(f_ppp,f_ppi) = 1, D(f_ppp,f_ipi) = 2, D(f_pip,f_ipi) = 3, D(f_iii,f_iii) = 0.

Relação com a transformada de Fourier multidimensional

Se denotarmos a transformada de Fourier de dimensão n de uma função f(x) por G(ω), sendo ω uma matriz de n dimensões, vale a seguinte relação

${\displaystyle {\mathcal {F}_{n}\{\mathcal {H}_{n}\{f(\mathbf {x} )\}\}\;=\;{\mathcal {F}_{n}\{\hat {u}(\mathbf {x} )\}\;=\;(-i)^{n+1}\left(\prod _{k\;=\;1}^{n}\operatorname {sgn}(\omega _{k})\right)G(\mathbf {\omega } )\;\;\;\;\;(21a)}$

que é a extensão da equação (8a) para n dimensões.

Transformada Fracional de Hilbert

A partir da transformada n-dimensional de Hilbert, pode-se definir uma transformada fracional (também chamada Transformada Parcial de Hilbert), que resulta da aplicação das expressões (19a) ou (19b) a apenas algumas dentre as n variáveis da matriz x. Por exemplo, se n=2, as duas transformadas fracionais bidimensionais de Hilbert possíveis serão dadas por

${\displaystyle {\mathcal {H}_{1:2}\{f(\mathbf {x} )\}\;=\;{\hat {u}(\mathbf {x} )\;=\;{\frac {1}{\pi }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(u_{1},x_{2})}{u_{1}\;-\;x_{1}\;du_{1}$

e

${\displaystyle {\mathcal {H}_{2:2}\{f(\mathbf {x} )\}\;=\;{\hat {u}(\mathbf {x} )\;=\;{\frac {1}{\pi }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(u_{2},x_{1})}{u_{2}\;-\;x_{2}\;du_{2}$

Essas são transformadas fracionais de primeira ordem, porque uma das variáveis foi deixada de fora da transformação. Para n=3, são possíveis 3 transformadas fracionais tridimensionais de Hilbert de primeira ordem e 3 de segunda ordem (em que duas variáveis são deixadas de fora da transformação) e assim por diante.

Funções separáveis

Uma função f(x), de n variáveis, é dita separável se puder ser escrita como o produto de n funções, cada uma dependendo de apenas uma das variáveis. Ou seja, ${\displaystyle f(\mathbf {x} )\;=\;f_{1}(x_{1})\cdot f_{2}(x_{2})\cdot f_{3}(x_{3})\dots f_{n}(x_{n})}$. Para esse tipo de entrada, a transformada de Hilbert exibe também separabilidade, ou seja, ${\displaystyle {\hat {u}(\mathbf {x} )\;=\;{\hat {u}_{1}(x_{1})\cdot {\hat {u}_{2}(x_{2})\cdot {\hat {u}_{3}(x_{3})\dots {\hat {u}_{n}(x_{n})}$. Essa propriedade também é exibida pelas transformadas fracionais de Hilbert de qualquer ordem.

Ortogonalidade

Em geral, a equação (9b) não pode estender-se para n dimensões, ou seja, no caso geral, f(x) e û(x) não são ortogonais. A ortogonalidade, no entanto, se verifica quando f(x) (e, por conseguinte, também û(x) é separável.

Extensão do teorema de Bedrosian

A identidade de Bedrosian, expressa pela equação (10a) pode ser estendida para n=2 pelo teorema de Starck. Seja f_Mfi a máxima frequência presente em f(x) quando apenas a variável x_i varia e a outra permanece constante, e seja f_mgi a mínima frequência presente em g(x) nas mesmas condições. Chamemos F(ω) e G(ω) as transformadas de Fourier bidimensionais de f(x) e g(x), respectivamente. Se f e g são tais que f_Mf1, f_Mf2, f_mg1 e f_mg2 são finitas, então F será nula para ω₁ > 2πf_Mf1 e ω₂ > 2πf_Mf2, e G será nula para ω₁ < 2πf_mg1 e ω₂ < 2πf_mg2. f(x) será, então, uma função que só contém frequências relativamente baixas, e g(x) será uma função que só contém frequências relativamente altas nos respectivos espectros.

Se f_Mf1 < f_mg1 e f_Mf2 < f_mg2, as funções f e g são ditas fortemente separáveis espectralmente. Neste caso, o suporte de F é disjunto do suporte de G, e pode-se escrever

${\displaystyle {\mathcal {H}_{2}\{f(\mathbf {x} )\cdot g(\mathbf {x} )\}\;=\;f(\mathbf {x} )\cdot {\mathcal {H}_{2}\{g(\mathbf {x} )\}\;\;\;\;\;(21b)}$

A condição de f_Mf1 < f_mg1 e f_Mf2 < f_mg2 não é necessária para validade da equação (21b). Como as frequências f_Mf1, f_mg1, f_Mf2 e f_mg2 encontram-se num espaço bidimensional, os suportes de F e G podem ser disjuntos mesmo quando ela não é atendida; nesse caso, f e g são ditas disjuntas espectralmente, e a equação (21b) ainda vale.^[9]

Transformadores de Hilbert multidimensionais

As equações (8b) e (8c), que definem o transformador de Hilbert, podem ser estendidas para n dimensões por meio das equações

${\displaystyle A_{n}(\mathbf {f} )\;=\;\prod _{k\;=\;1}^{n}i\cdot \operatorname {sgn}(f_{k})\;\;\;\;\;(21c)}$

${\displaystyle \phi _{n}(\mathbf {f} )\;=\;{\frac {\pi }{2}\cdot \sum _{k\;=\;1}^{n}\operatorname {sgn}(f_{k})\;\;\;\;\;(21d)}$

História do desenvolvimento da teoria

Em 1909, Hardy forneceu a definição da transformada e condições de sua validade. Ele acreditava na época que as fórmulas fossem desconhecidas, mas posteriormente descobriu que Hilbert já as usara pelo menos desde 1904, e então batizou a transformação como Transformada de Hilbert quando escreveu novamente sobre o assunto em 1925. O trabalho deste ano continha alguns erros, o que obrigou Hardy a reescrevê-lo em 1932. Outros trabalhos do mesmo autor nos anos entre 1909 e 1932 trouxeram novos aportes à teoria. O último artigo de Hardy sobre a transformação de Hilbert data de 1937.^[16]

Assim, Hardy (1932) é o artigo de referência para a definição original da Transformada de Hilbert.

A motivação original de Hardy era o estudo da Transformada de Fourier e sua aplicação à análise do espaço L2. Ele iniciou essas pesquisas em 1904 e as levou até 1947, investigando também as transformações de Mellin e de Laplace, além do recém-descoberto tema dos núcleos (kernels) da Transformada de Fourier.^[16]

Notas

Ver também

• Relações de Kramers–Kronig

Referências

Ligações externas

• Artigo original de G. H. Hardy: Oxford Quarterly Journal of Mathematics, Volume os-3, Issue 1, Pp. 102-112