Na matemática, o “conjugado transposto”, ou, “transposto Hermitiano” de uma matriz
complexa
, é uma matriz
obtida pela transposta de
e tomando o [[conjugado complexo] de cada elemento da matriz.
É tipicamente denotado por
,ou
[1], ou
[2], ou então (tipicamente na Física)
.
Para as matrizes reais, o conjugado transposto é simplesmente o transposto:
, afinal o conjugado complexo de um número real é o próprio número.
Definição
O conjugado complexo de uma matriz
é formalmente definido como
onde o subescrito
denota o
-ésimo elemento de
and
, e a barra superior denota o escalar do complexo conjugado.
Sem perda de generalidade, essa definição também pode ser escrita como
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8a893002a447880e50c1611f380b9fa90ba437)
onde
denota a transposta e
denota a matriz com elementos conjugados complexos.
Outros nomes associados ao transposto conjugado de uma matriz são “conjugado Hermitiano”, “matriz adjunta” e “transjugado”.
O transposto conjugado de uma matriz
pode ser denotado por qualquer um destes símbolos:
, tipicamente usado na álgebra linear
, também tipicamente usado na álgebra linear
(em geral pronunciado como A dagger), tipicamente usado no contexto da mecânica quântica
, embora este símbolo seja mais comumente usado para a inversa de Moore-Penrose.
Em certos contextos,
pode denotar a matriz apenas com elementos conjugados complexos, sem a transposição.
Exemplo
Suponha que você deseje calcular a conjugada transposta de seguinte matriz
.
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce6a52133d6cb6f1e12d676e8a2ed41065cad46b)
Primeiro, realiza-se a transposição da matriz:
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd51f588910bf7ff1865023a73757ce321245202)
Em seguida, conjuga-se cada elemento da matriz:
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6cbe2a983b4661dfd8b8f0442e9526128f316a5)
Observações básicas
Uma matriz quadrada (ou seja, necessariamente
)
com elementos
é dita
- Hermitiana ou autoadjunta se
; i.e.,
. - Anti-hermitiana se
; i.e.,
. - Normal se
. - Unitária se
, equivalentemente
, equivalentemente
.
Mesmo que
não seja quadrada, ambas as matrizes
e
são Hermitianas e semi-definidas positivas.
A matriz conjugada transposta “adjunta”
não deve ser confundida com a matriz adjunta
, que é também chamada frequentemente apenas de “adjunta”.
O transposto conjugado de uma matriz
com elementos reais reduz-se para a transposta de
, já que o conjugado de um número real é o próprio número.
Motivação
A conjugada transposta pode ser motivada ao notar que números complexos podem ser representados na forma matricial por uma matriz real
, e, portanto, obedecem as propriedades matriciais de soma e multiplicação.
![{\displaystyle a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24779f45ee02c76388ba2ef1a2ccd4719c6763a)
Ou seja, representando cada número complexo
pela matriz real
da transformação linear no plano complexo (visto como o espaço vetor “real”
), afetado pela multiplicação complexa de “
” em
.
Dessa forma, uma matriz de números complexos
pode ser bem representada por uma matriz de números reais
. A conjugada transposta, portanto, surge naturalmente como o resultado de transpor tal matriz—quando interpretado novamente como uma matriz
composta por números complexos.
Propriedades da conjugada transposta
para qualquer duas matrizes
e
de mesmas dimensões.
para qualquer número complexo
e qualquer matriz
.
para qualquer matriz
e qualquer matriz
. Perceba que a ordem dos fatores é revertida.[1]
para qualquer matriz
, ou seja, a transposição Hermitiana é uma involução. - Se
é uma matriz quadrada, então
onde
representa o determinante de
. - Se
é uma matriz quadrada, então
onde
representa o traço de
.
é inversível se e somente se
é inversível, e, neste caso
. - Os autovalores de
são os conjugados complexos dos autovalores de
.
para qualquer matriz
, qualquer vetor em
e qualquer vetor
. Aqui,
representa o produto interno complexo em
, e similarmente para
.
Generalizações
A última propriedade dada mostra que se tratarmos
como a transformação linear do espaço de Hilbert
para
então a matriz
corresponde ao Hermitiano adjunto de
. O conceito de operadores adjuntos entre espaços de Hilbert pode, dessa forma, ser visto como uma generalização dos conjugados transpostos de matrizes em relação à uma base ortonormal.
Outra generalização também é possível: suponha que
seja um mapa linear the um espaço vetorial complexo
para um outro,
, então a transformação linear do complexo conjugado assim como a transformação linear transposta são definidas, e portanto é possível afirmar que o conjugado transposto de
é o conjugado complexo da transposta de
. Ou seja, ele transforma o conjugado dual de
ao conjugado dual de ![{\displaystyle V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845)
Ver também
Referências
- ↑ a b Weisstein, Eric W. «Conjugate Transpose». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 8 de setembro de 2020
- ↑
H. W. Turnbull, A. C. Aitken,
"An Introduction to the Theory of Canonical Matrices,"
1932.
Ligações externas