Valor principal de Cauchy

Em Matemática, o valor principal de Cauchy, denominado a partir de Augustin Louis Cauchy, é um método de atribuir valores a certas integrais impróprias indeterminadas. O valor principal de Cauchy assume um papel fundamental no estudo das Transformadas de Hilbert.^[1]

Nomenclatura

O valor principal de Cauchy admite diversas notações diferente na literatura variando conforme autores:

${\displaystyle PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,\quad \int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,\quad -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$ ${\displaystyle P\ ,}$ P.V. ${\displaystyle ,{\mathcal {P}\ ,}$ ${\displaystyle P_{v}\ ,}$ ${\displaystyle (CPV).}$

Formulação

O valor principal de Cauchy é definido conforme o tipo de singularidade do integrando f:

• Se b é uma singularidade isolada no intervalo (a,c), então define-se o valor princiapal de Cauchy em torno de b como:

${\displaystyle PV\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left[\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\right]}$

sempre que este limite existe e é finito mesmo que a integral imprópria associada não existe, isto é, quando o limite duplo

${\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon ,\eta \rightarrow 0+}\left[\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\right]}$ não existe.

• Se f é integrável em cada intervalo finito [-a,a], então

${\displaystyle PV\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}$

sempre que este limite simétrico existe e é finito, mesmo quando a integral imprópria associada não existe, isto é, quando o limite duplo

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{a,b\to \infty }\int _{-a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ não existe.

ou

• Em termos de integrais de contorno de uma função complexa f(z); z = x + iy, com um polo no contorno. Seja L(ε) a porção do contorno L fora do cículo de centro no polo e raio ε. O valor principal de Cauchy é definido como:^[2]

${\displaystyle \mathrm {P} \int _{L}f(z)\ \mathrm {d} z=\int _{L}^{*}f(z)\ \mathrm {d} z=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{L(\varepsilon )}f(z)\ \mathrm {d} z,}$

onde as duas notações comuns para o valor principal de Cauchy estão presentes no lado esquerdo desta expressão.

Exemplos

Considere o diferente comportamento dos seguintes limites:

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}\right)=0,}$

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}\right)=\ln 2.}$

O primeiro é o valor principal de Cauchy de

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}{\ }$ que constitui uma integral imprópria mal definida.

Similarmente, temos

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}=0,}$

mas

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}=-\ln 4.}$

O primeiro é o valor principal de Cauchy de

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}{\ }$ que constitui uma integral imprópria mal definida.

Teoria das distribuições

Seja ${\displaystyle {C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$ o espaço das funções suaves de suporte compacto na reta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Então o funcional

${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$

definido via Valor Principal de Cauchy como

${\displaystyle \left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ;\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}\,\mathrm {d} x\quad \forall u\in {C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$

é uma distribuição. Esta distribuição é um exemplo de distribuição que não pode ser expressa como uma função real ou medida de Radon^[3] aparece, por exemplo, na transformada de Fourier distribucional da função de Heaviside.^[4]

Este limite está bem definido não apenas para funções suaves de suporte compacto: basta que ${\displaystyle u}$ seja integrável, com suporte compacto e diferenciável na origem.

Esta distribuição é a inversa da função ${\displaystyle x}$ e é quase a única com esta propriedade, isto é:

${\displaystyle xf=1\quad \Rightarrow \quad f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}\right)+K\delta ,}$

onde ${\displaystyle K}$ é uma constante e ${\displaystyle \delta }$ distribuição delta de Dirac.

O conceito de valor principal de Cauchy pode ser generalizado para uma classe maior de núcleo integrais singulares, no espaço euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$. Se ${\displaystyle K}$ tem uma singularidade isolada na origem, mas é localmente integrável fora da origem, então a distribuição valor principal é definida nas funções suaves de suporte compacto como

${\displaystyle [\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon (0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.}$

Este limite pode não estar bem definido e mesmo que esteja bem definido pode não representar uma distribuição Ele está, no entanto, bem definido se ${\displaystyle K}$ é uma função homogênea de grau ${\displaystyle -n}$ cuja integral sobre qualquer esfera centrada na origem é nula. Este é o caso, por exemplo, das transformadas de Riesz.

Referências