Câmp vectorial dat de vectori de forma (−y , x )
În matematică un câmp vectorial , sau un câmp de vectori este o construcție din calculul vectorial care asociază un vector fiecărui punct dintr-un spațiu euclidian .
Câmpurile vectoriale sunt adesea utilizate în fizică pentru a modela, de exemplu, viteza și direcția de curgere a unui fluid prin spațiu, sau modulul și direcția unei forțe , cum ar fi forța magnetică sau gravitațională , și variațiile acestora de la punct la punct.
Definiție matematică
Funcția vectorială:
v
→
(
P
)
=
v
→
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\vec {v}(P)={\vec {v}(x,y,z)}
(
1.1
)
{\displaystyle (1.1)}
definită pentru punct
P
(
x
,
y
,
z
)
∈
D
{\displaystyle P(x,y,z)\in D}
(unde
D
{\displaystyle D}
este o submulțime a spațiului euclidian
E
3
{\displaystyle {\mathcal {E}_{3}
) se numește câmp vectorial .
Linii și suprafețe de câmp
O curbă
(
Γ
)
{\displaystyle (\Gamma )}
situată în
D
{\displaystyle D}
se numește linie de câmp pentru câmpul vectorial
v
→
(
P
)
{\displaystyle {\vec {v}(P)}
dacă în fiecare punct
P
{\displaystyle P}
al său vectorul
v
→
(
P
)
{\displaystyle {\vec {v}(P)}
este tangent curbei.
Liniile de câmp sunt soluțiile ecuației diferențale vectoriale:
v
→
×
d
r
→
=
0
{\displaystyle {\vec {v}\times d{\vec {r}=0}
(
2.1
)
{\displaystyle (2.1)}
sau ale sistemului diferențial:
d
x
v
1
(
x
,
y
,
z
)
=
d
y
v
2
(
x
,
y
,
z
)
=
d
z
v
3
(
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle {\frac {dx}{v_{1}(x,y,z)}={\frac {dy}{v_{2}(x,y,z)}={\frac {dz}{v_{3}(x,y,z)}.}
(
2.2
)
{\displaystyle (2.2)}
O suprafață generată de liniile de câmp e numește suprafață de câmp .
Dacă
F
1
(
x
,
y
,
z
)
=
C
1
,
F
2
(
x
,
y
,
z
)
=
C
2
,
(
C
1
,
C
2
=
c
o
n
s
t
)
,
{\displaystyle F_{1}(x,y,z)=C_{1},\;F_{2}(x,y,z)=C_{2},\;(C_{1},C_{2}=const),}
sunt soluții ale sistemului (2.2), atunci:
Φ
(
F
1
,
F
2
)
=
0
{\displaystyle \Phi (F_{1},F_{2})=0}
(
2.3
)
{\displaystyle (2.3)}
este o suprafață de câmp.
Divergență, rotor, gradient
Expresia:
d
i
v
v
→
=
i
→
⋅
∂
v
→
∂
x
+
j
→
⋅
∂
v
→
∂
y
+
k
→
⋅
∂
v
→
∂
z
{\displaystyle div\;{\vec {v}={\vec {i}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}{\partial x}+{\vec {j}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}{\partial y}+{\vec {k}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}{\partial z}
(
3.1
)
{\displaystyle (3.1)}
se numește divergența câmpului vectorial diferențiabil
v
→
(
P
)
.
{\displaystyle {\vec {v}(P).}
Notând
v
1
,
v
2
,
v
3
{\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}
componentele câmpului vectorial
v
→
(
P
)
,
{\displaystyle {\vec {v}(P),}
divergența se exprimă prin egalitatea:
d
i
v
v
→
=
∂
v
1
∂
x
+
∂
v
2
∂
y
+
∂
v
3
∂
z
.
{\displaystyle div\;{\vec {v}={\frac {\partial v_{1}{\partial x}+{\frac {\partial v_{2}{\partial y}+{\frac {\partial v_{3}{\partial z}.}
(
3.2
)
{\displaystyle (3.2)}
Vectorul de componente:
∂
v
3
∂
y
−
∂
v
2
∂
z
,
∂
v
1
∂
z
−
∂
v
3
∂
x
,
∂
v
2
∂
x
−
∂
v
1
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial v_{3}{\partial y}-{\frac {\partial v_{2}{\partial z},\;{\frac {\partial v_{1}{\partial z}-{\frac {\partial v_{3}{\partial x},\;{\frac {\partial v_{2}{\partial x}-{\frac {\partial v_{1}{\partial y}
(
3.3
)
{\displaystyle (3.3)}
se numește rotorul câmpului vectorial diferențiabil
v
→
(
P
)
{\displaystyle {\vec {v}(P)}
și se notează
r
o
t
v
→
.
{\displaystyle rot\;{\vec {v}.}
Există relația:
r
o
t
v
→
=
|
i
→
j
→
k
→
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
v
1
v
2
v
3
|
{\displaystyle rot\;{\vec {v}={\begin{vmatrix}{\vec {i}&{\vec {j}&{\vec {k}\\{\frac {\partial }{\partial x}&{\frac {\partial }{\partial y}&{\frac {\partial }{\partial z}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}
(
3.4
)
{\displaystyle (3.4)}
și
r
o
t
v
→
=
∇
×
v
→
,
{\displaystyle rot\;{\vec {v}=\nabla \times {\vec {v},}
(
3.5
)
{\displaystyle (3.5)}
unde
∇
{\displaystyle \nabla }
este operatorul nabla .
Relații între operatori
g
r
a
d
(
φ
+
ψ
)
=
g
r
a
d
φ
+
g
r
a
d
ψ
,
{\displaystyle grad(\varphi +\psi )=grad\;\varphi +grad\;\psi ,}
(
4.1
)
{\displaystyle (4.1)}
g
r
a
d
(
φ
⋅
ψ
)
=
φ
⋅
g
r
a
d
ψ
+
ψ
⋅
g
r
a
d
φ
,
{\displaystyle grad(\varphi \cdot \psi )=\varphi \cdot grad\;\psi +\psi \cdot grad\;\varphi ,}
(
4.2
)
{\displaystyle (4.2)}
d
i
v
(
u
→
+
v
→
)
=
d
i
v
u
→
+
d
i
v
v
→
,
{\displaystyle div({\vec {u}+{\vec {v})=div\;{\vec {u}+div\;{\vec {v},}
(
4.3
)
{\displaystyle (4.3)}
d
i
v
(
φ
⋅
v
→
)
=
φ
⋅
d
i
v
v
→
+
v
→
⋅
g
r
a
d
φ
,
{\displaystyle div(\varphi \cdot {\vec {v})=\varphi \cdot div\;{\vec {v}+{\vec {v}\cdot grad\;\varphi ,}
(
4.4
)
{\displaystyle (4.4)}
d
i
v
(
u
→
×
v
→
)
=
v
→
⋅
r
o
t
u
→
−
u
→
⋅
r
o
t
v
→
,
{\displaystyle div({\vec {u}\times {\vec {v})={\vec {v}\cdot rot\;{\vec {u}-{\vec {u}\cdot rot\;{\vec {v},}
(
4.5
)
{\displaystyle (4.5)}
r
o
t
(
u
→
+
v
→
)
=
r
o
t
u
→
+
r
o
t
v
→
,
{\displaystyle rot({\vec {u}+{\vec {v})=rot\;{\vec {u}+rot\;{\vec {v},}
(
4.6
)
{\displaystyle (4.6)}
r
o
t
(
φ
⋅
v
→
)
=
φ
⋅
r
o
t
v
→
−
v
→
×
g
r
a
d
φ
,
{\displaystyle rot(\varphi \cdot {\vec {v})=\varphi \cdot rot\;{\vec {v}-{\vec {v}\times grad\;\varphi ,}
(
4.7
)
{\displaystyle (4.7)}
g
r
a
d
(
u
→
⋅
v
→
)
=
v
→
×
r
o
t
u
→
+
u
→
×
r
o
t
v
→
+
(
v
→
⋅
∇
→
)
⋅
u
→
+
(
u
→
⋅
∇
→
)
⋅
v
→
,
{\displaystyle grad({\vec {u}\cdot {\vec {v})={\vec {v}\times rot\;{\vec {u}+{\vec {u}\times rot\;{\vec {v}+({\vec {v}\cdot {\vec {\nabla })\cdot {\vec {u}+({\vec {u}\cdot {\vec {\nabla })\cdot {\vec {v},}
(
4.8
)
{\displaystyle (4.8)}
r
o
t
(
u
→
×
v
→
)
=
u
→
⋅
d
i
v
v
→
−
v
→
⋅
d
i
v
u
→
+
(
v
→
⋅
∇
→
)
⋅
u
→
−
(
u
→
⋅
∇
→
)
⋅
v
→
,
{\displaystyle rot({\vec {u}\times {\vec {v})={\vec {u}\cdot div\;{\vec {v}-{\vec {v}\cdot div\;{\vec {u}+({\vec {v}\cdot {\vec {\nabla })\cdot {\vec {u}-({\vec {u}\cdot {\vec {\nabla })\cdot {\vec {v},}
(
4.9
)
{\displaystyle (4.9)}
d
i
v
(
g
r
a
d
φ
)
=
∂
2
φ
∂
x
2
+
∂
2
φ
∂
y
2
+
∂
2
φ
∂
z
2
=
Δ
φ
,
{\displaystyle div(grad\;\varphi )={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}=\Delta \varphi ,}
(
4.10
)
{\displaystyle (4.10)}
r
o
t
(
g
r
a
d
φ
)
=
0
,
{\displaystyle rot(grad\;\varphi )=0,}
(
4.11
)
{\displaystyle (4.11)}
d
i
v
(
r
o
t
v
→
)
=
0
,
{\displaystyle div(rot\;{\vec {v})=0,}
(
4.12
)
{\displaystyle (4.12)}
r
o
t
(
r
o
t
v
→
)
=
g
r
a
d
(
d
i
v
v
→
)
−
Δ
v
→
.
{\displaystyle rot(rot\;{\vec {v})=grad(div\;{\vec {v})-\Delta {\vec {v}.}
(
4.13
)
{\displaystyle (4.13)}
Exemplu
Să se determine liniile de câmp ale câmpului vectorial definit prin vectorul:
v
→
=
x
y
2
⋅
i
→
+
x
2
y
⋅
j
→
+
z
(
x
2
+
y
2
)
⋅
k
→
{\displaystyle {\vec {v}=xy^{2}\cdot {\vec {i}+x^{2}y\cdot {\vec {j}+z(x^{2}+y^{2})\cdot {\vec {k}
(
5.1
)
{\displaystyle (5.1)}
și suprafața de câmp care trece prin curba:
x
=
2
y
,
z
=
a
.
{\displaystyle x=2y,\;z=a.}
(
5.2
)
{\displaystyle (5.2)}
Rezolvare .
Sistemul diferențial al liniilor de câmp este:
d
x
x
y
2
=
d
y
y
x
2
=
d
z
z
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle {\frac {dx}{xy^{2}={\frac {dy}{yx^{2}={\frac {dz}{z(x^{2}+y^{2})}
(
5.3
)
{\displaystyle (5.3)}
și se reduce la:
{
x
⋅
d
x
−
y
⋅
d
y
=
0
d
x
x
+
d
y
y
=
d
z
z
{\displaystyle {\begin{cases}x\cdot dx-y\cdot dy=0\\{\frac {dx}{x}+{\frac {dy}{y}={\frac {dz}{z}\end{cases}
(
5.4
)
{\displaystyle (5.4)}
Prin integrare se obțin ecuațiile liniilor de câmp:
x
2
−
y
2
=
C
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=C_{1}
z
x
y
=
C
2
.
{\displaystyle {\frac {z}{xy}=C_{2}.}
(
5.5
)
{\displaystyle (5.5)}
Se pune condiția ca o linie de câmp să intersecteze curba (5.2).
Din prima ecuație de la (5.5), folosind ecuația
x
=
2
y
,
{\displaystyle x=2y,}
se obține
y
2
=
C
1
3
,
{\displaystyle y^{2}={\frac {C_{1}{3},}
iar din ecuația a doua de la (5.5), folosind ecuațiile (5.2) se obține
y
2
=
a
2
C
2
.
{\displaystyle y^{2}={\frac {a}{2C_{2}.}
Din relațiile
y
2
=
C
1
3
{\displaystyle y^{2}={\frac {C_{1}{3}
și
y
2
=
a
2
C
2
{\displaystyle y^{2}={\frac {a}{2C_{2}
se obține relația de condiție
2
C
1
C
2
=
3
a
.
{\displaystyle 2C_{1}C_{2}=3a.}
Suprafața de câmp se obține prin eliminarea parametrilor
C
1
{\displaystyle C_{1}
și
C
2
{\displaystyle C_{2}
între ecuațiile liniilor de câmp și această relație:
2
z
(
x
2
−
y
2
)
−
3
a
x
y
=
0.
{\displaystyle 2z(x^{2}-y^{2})-3axy=0.}
(
5.6
)
{\displaystyle (5.6)}
Vezi și