Neki od diferencijalnih operatori primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija.
Formalna definicija
Neka je i neka označava skup svih radij-vektora u koordinatnom sustavu , tj.
.
Kažemo da je funkcija skalarne varijable (kraće: vektorska funkcija ili vektorsko polje) svaka funkcija
Drugim riječima, vektorsko polje je prostorna funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor.
Transformacije sustava
Neka je i vektorsko polje u euklidskim
koordinatama. Ukoliko je neki drugi koordinatni sustav na S, tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu
:
Napomene
Za V se kaže da je Ck vektorsko polje, ako je ono k puta diferencijabilno.
Jako je važno razlikovati vektorsko i skalarno polje! Što vrijedi za vektore i skalare, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u koordinatnim transformacijama: skalar sam po sebi jest koordinata, dok je vektor opisan koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje koordinate, a vektorsko vektore.
Primjene
Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici, npr.
Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje u (!), gdje je svaka točka opisana sa sedam koordinata: (polje je zavisno o vremenu!).