Индексы Миллера

Плоскости с различными индексами Миллера в кубических кристаллах

Индексы Миллера — кристаллографические индексы, характеризующие расположение атомных плоскостей в кристалле. Индексы Миллера связаны с отрезками, отсекаемыми выбранной плоскостью на трёх осях кристаллографической системы координат (не обязательно декартовой). Таким образом, возможны три варианта относительного расположения осей и плоскости:

  • плоскость пересекает все три оси
  • плоскость пересекает две оси, а третьей параллельна
  • плоскость пересекает одну ось и параллельна двум другим

Индексы Миллера выглядят как три взаимно простых целых числа, записанные в круглых скобках: (111), (101), (110)…

Индекс Миллера — Браве для гексагональной плотноупакованной решётки

Для работы с гексагональными решётками удобно использовать четырёхсимвольные индексы Миллера — Браве (hkil), в которых третий элемент i означает удобную, но вырожденную (не несущую никакой дополнительной информации) компоненту, равную −h − k. Угол между компонентами h, i и k индекса составляет 120°, так что они не ортогональны. Компонента l перпендикулярна всем трём направлениям h, i и k.

Определение индексов Миллера

Система координат решетки кристалла

Пусть на осях системы координат (OXYZ) решетки кристалла (см. рис. "Система координат решетки кристалла"), плоскость, индексы Миллера которой хотим найти, отсекает отрезки A, на оси X, B, на оси Y, C, на оси Z. Для каждой из осей заданы свои параметры решетки a, b, c. Тогда индексы будут находиться следующим образом. Находим значение отрезков A, B, C в осевых единицах, т. е. необходимо найти A/a, B/b, C/c (полученные величины не имеют размерности). Далее, находим обратные значения найденных величин, т. е. a/A, b/B, c/C. Следующим шагом необходимо найти наименьшее общее кратное чисел: НОК(A/a, B/b, C/c) или, что то же самое, [A/a, B/b, C/c], при этом нужно понимать, что НОК величина положительная, поэтому должно всегда выполняться: НОК(A/a, B/b, C/c) > 0. Таким образом, индексы Миллера h, k, l будут определяться следующим образом:

;

;

.

Пример.

Имеем, что A/a = 1, B/b = 2, C/c = -4. Найдем НОК(A/a, B/b, C/c). Заметим, что 1 = 2⁰, 2 = 2¹, 4 = 2², поэтому НОК(A/a, B/b, C/c) = 4, тогда h = 4, k = 2, l = -1, т. е. (hkl) = (421).

См. также

Ссылки