Композиция функций

Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций и обычно обозначается [1][2], что обозначает применение функции к результату функции , то есть .

Определение

Пусть функция из в . Образ функции есть множество .

Пусть даны две функции и , где образ множества . Тогда их композицией называется функция , определённая равенством[3]:

.

Связанные определения

  • Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, каждая из каких имеет один аргумент[4]. Также он может употребляться в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных[5]. Например, сложной функцией нескольких переменных можно назвать функцию вида
    ,
потому что она представляет собой функцию , на вход которой подаются результаты функций и .

Примеры композиций

  • Пример композиции двух функций
    Композиция функций на конечных множествах:

Пусть и

тогда композиция

Свойства композиции[3]

  • Композиция ассоциативна:
    .
  • Если тождественное отображение на , то есть :
    ,
то .
  • Если — тождественное отображение на , то есть :
    ,
то .
  • Композиция отображений , , вообще говоря, не коммутативна, то есть . Например, даны функции , — тогда , однако .

Дополнительные свойства

  • Пусть функция имеет в точке предел , а функция имеет в точке предел . Тогда, если существует проколотая окрестность точки , пересечение которой с множеством отображается функцией в проколотую окрестность точки , то в точке существует предел композиции функций и выполнено равенство: .
  • Если функция имеет в точке предел , а функция непрерывна в точке , то в точке существует предел композиции функций и выполнено равенство: .
  • Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть топологические пространства. Пусть и  — две функции, , и , где — это множество всех функций, первая производная которых в заданной точке существует. Тогда .
  • Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть , , и . Тогда , и
.

Примечания

  1. Обозначение. Дата обращения: 10 мая 2021. Архивировано 24 февраля 2021 года.
  2. Composition of Functions. www.mathsisfun.com. Дата обращения: 10 мая 2021. Архивировано 31 декабря 2020 года.
  3. 1 2 Кострикин, 2004, с. 37-38.
  4. Производная сложной функции. www.math24.ru. Дата обращения: 10 мая 2021. Архивировано 10 мая 2021 года.
  5. функции нескольких переменных. Дата обращения: 10 мая 2021. Архивировано 10 мая 2021 года.

Литература

  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0487-Х.