Многочлены Гегенбауэра

Многочлены Гегенбауэра
Общая информация
Формула	${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{n-k}{k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k}$
Скалярное произведение	${\displaystyle (f,g)=\int _{-1}^{1}{(1-z^{2})^{\alpha -1/2}f(z)g(z){\rm {d}z}$
Область определения	${\displaystyle [-1,1]}$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	${\displaystyle (1\!-\!z^{2})f''\!\!-\!(2\alpha \!+\!1)zf'\!\!+\!n(n\!+\!2\alpha )f=0}$
Норма	${\displaystyle \|C_{n}^{(\alpha )}(z)\|^{2}={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}$
Названы в честь	Леопольда Гегенбауэра

Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}$. Они могут быть явным образом представлены как

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k},}$

где ${\displaystyle \Gamma (s)}$ — гамма-функция, а ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ обозначает целую часть числа n/2.

Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра и Чебышёва и являются частным случаем многочленов Якоби. Также многочлены Гегенбауэра связаны с представлением специальной ортогональной группы ${\displaystyle SO(n)}$^[1]. Они названы в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).

Производящая функция и частные значения аргумента

Многочлены Гегенбауэра могут быть определены через производящую функцию^[2]:

${\displaystyle {\frac {1}{(1-2zt+t^{2})^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(z)t^{n}.}$

Поскольку производящая функция не меняется при одновременной замене ${\displaystyle z\to -z}$, ${\displaystyle t\to -t}$, то

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(-z)=(-1)^{n}C_{n}^{(\alpha )}(z),}$

из чего следует, что при чётном n многочлены Гегенбауэра содержат только чётные степени z, а при нечётном n — только нечётные степени z.

Через производящую функцию можно получить значения многочленов Гегенбауэра при z=1 и z=0 как коэффициенты разложений ${\displaystyle (1-t)^{-2\alpha }$ и ${\displaystyle (1+t^{2})^{-\alpha }$ соответственно:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}{n!},}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(0)={\frac {(-1)^{n/2}(\alpha )_{n/2}{(n/2)!}$   (для чётных n),       ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(0)=0}$   (для нечётных n),

где используется стандартное обозначение для символа Похгаммера,

${\displaystyle (\alpha )_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha )}$.

Рекуррентное соотношение и частные случаи

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое можно использовать для построения полиномов с ${\displaystyle n\geq 2}$:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n}[2z(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(z)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(z)].}$

В частности^[3],

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(z)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(z)&=2\alpha z\\C_{2}^{(\alpha )}(z)&=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^{2}\\C_{3}^{(\alpha )}(z)&=-2\alpha (1+\alpha )z+{\tfrac {4}{3}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}\end{aligned}$

и так далее.

Дифференциальное уравнение и связь с другими функциями

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют дифференциальному уравнению Гегенбауэра^[4]

${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\rm {d}^{2}f}{\rm {d}z^{2}-(2\alpha +1)z{\frac {\rm {d}f}{\rm {d}z}+n(n+2\alpha )f=0.}$

При ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}$ это уравнение сводится к дифференциальному уравнению Лежандра и, соответственно, многочлены Гегенбауэра сводятся к многочленам Лежандра.

Многочлены Гегенбауэра можно выразить через конечный гипергеометрический ряд

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}{n!}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\tfrac {1}{2};{\tfrac {1}{2}(1-z)\right).}$

Многочлены Гегенбауэра являются частным случаем многочленов Якоби ${\displaystyle P_{n}^{(\mu ,\nu )}(z)}$ c ${\displaystyle \mu =\nu =\alpha -{\tfrac {1}{2}$:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}{(\alpha +{\frac {1}{2})_{n}P_{n}^{(\alpha -1/2,\;\alpha -1/2)}(z).}$

Производная многочлена Гегенбауэра выражается через многочлен со сдвинутыми индексами

${\displaystyle {\frac {\rm {d}{\rm {d}z}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{(\alpha +1)}(z).}$

Они могут быть выражены через формулу Родрига

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}{n!}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {\rm {d}^{n}{\rm {d}z^{n}\left[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}$

Ортогональность и нормировка

Для данного ${\displaystyle \alpha }$ многочлены Гегенбауэра ортогональны на отрезке [−1,1] с весовой функцией ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}$, то есть (для n ≠ m)^[5],

${\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(z)C_{m}^{(\alpha )}(z)(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}z=0.}$

Они нормализованы как^[5]

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}.}$

Случай комплексного аргумента

Если ${\displaystyle z=x+{\rm {i}y}$, где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — действительные переменные (и ${\displaystyle \alpha }$ тоже действительна), то действительную и мнимую части полиномов Гегенбауэра можно выразить в следующем виде:

${\displaystyle {\rm {Re}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}{(2k)!}\;C_{n-2k}^{(2k+\alpha )}(x)\;y^{2k},}$

${\displaystyle {\rm {Im}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}{(2k+1)!}\;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.}$

См. также

• Ортогональные многочлены
• Многочлены Чебышёва
• Многочлены Лежандра
• Многочлены Якоби

Примечания

Литература

• Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Физматлит, 2007. — 480 с. — ISBN 978-5-9221-0406-7.
• Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представления групп / Гл. ред. физ.-мат. лит. — 2-е изд., исправ. — М.: Наука, 1991. — 576 с. — ISBN 5-02-014541-6.
• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions^[en], (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. Chapter 22

Ссылки

• Gegenbauer Function, functions.wolfram.com
• Eric W. Weisstein, Gegenbauer Polynomial, MathWorld — mathworld.wolfram.com