Неравенство Юнга

Неравенство Юнга (Янга) — соотношение для непрерывной строго возрастающей функции ${\displaystyle f}$, обращающейся в нуль в нуле: для любых ${\displaystyle a\geqslant 0}$ и ${\displaystyle b\geqslant 0}$ выполнено^[1]:

${\displaystyle ab\leqslant \int \limits _{0}^{a}f(x)dx+\int \limits _{0}^{b}f^{-1}(x)dx}$,

где ${\displaystyle f^{-1}$ — функция, обратная ${\displaystyle f}$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle b=f(a)}$.

Установлено в 1912 году Уильямом Янгом^[2].

Естественное следствие — ${\displaystyle ab\leqslant af(a)+bf^{-1}(b)}$ (в тех же условиях)^[3]. Неравенство Фенхеля может быть рассмотрено как обобщение этого следствия — результат распространяется на пару выпукло-сопряжённых функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle f^{*}$ в соответствующих векторных пространствах ${\displaystyle a\in X}$ и ${\displaystyle b\in X^{*}$ (двойственном пространстве): ${\displaystyle \left\langle a,b\right\rangle \leqslant f(a)+f^{*}(b)}$.

Также из этого следствия при ${\displaystyle f(x)=x^{p-1}$, и, соответственно ${\displaystyle f^{-1}(y)=y^{q-1}$, может быть получено числовое неравенство Юнга: если ${\displaystyle p,q>1}$ — сопряжённые показатели (то есть такие числа, что ${\displaystyle {\frac {1}{p}+{\frac {1}{q}=1}$), то:

${\displaystyle ab\leqslant {\frac {a^{p}{p}+{\frac {b^{q}{q}$;

равенство достигается при ${\displaystyle a^{p}=b^{q}$. Этот результат весьма востребован в различных направлениях анализа, в частности, используется в доказательстве неравенства Гёльдера, применяется для оценки норм нелинейных членов дифференциальных уравнений в частных производных.

Функции:

${\displaystyle F(a)=\int \limits _{0}^{a}f(x)dx}$ и ${\displaystyle \Phi (b)=\int \limits _{0}^{b}f^{-1}(x)dx}$

в связи с неравенством называются двойственными по Юнгу^[4]. Если ${\displaystyle F_{1}$ двойственна по Юнгу с ${\displaystyle \Phi _{1}$, а ${\displaystyle F_{2}$ — двойственна по Юнгу с ${\displaystyle \Phi _{2}$, то из ${\displaystyle F_{1}(x)\leqslant F_{2}(x)}$ при достаточно больших ${\displaystyle x}$ следует, что ${\displaystyle \Phi _{1}(x)\geqslant \Phi _{2}(x)}$ при достаточно больших ${\displaystyle x}$^[5].

• Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Г. Полиа. Неравенства. — М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948. — 456 с.
• Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. — 275 с.