Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом
. Функции
он ставит в соответствие функцию
![{\displaystyle \Delta F={\partial ^{2}F \over \partial x_{1}^{2}+{\partial ^{2}F \over \partial x_{2}^{2}+\ldots +{\partial ^{2}F \over \partial x_{n}^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71cc0ad9ef89b921a490472a5c7752e71ed37a6)
в n-мерном пространстве.
Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции:
, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля
в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом
[1], то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.
Оператор Лапласа для вектора
:
[2]
Лапласиан вектора - тоже вектор.
Другое определение оператора Лапласа
Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция
имеет в окрестности точки
непрерывную вторую производную
, то, как это следует из формулы Тейлора
при
,
при ![r\to 0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4aa94b0e5e991e922d960e2af180ddabceb6e9)
вторая производная есть предел
![\ f''(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0) \right\}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e37795e90376f7d56baba95130d7fceb948192a)
Если, переходя к функции
от
переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки
рассматривать её
-мерную шаровую окрестность
радиуса
и разность между средним арифметическим
![\ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b5f48ab934cece0ed133b7aa9d76485063480f)
функции
на границе
такой окрестности с площадью границы
и значением
в центре этой окрестности
, то в случае непрерывности вторых частных производных функции
в окрестности точки
значение лапласиана
в этой точке есть предел
![\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}F(M)d\sigma -F(M_0) \right\}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e1ea9e42eec842f33e5ec92c3fe789b6cefc3b)
Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции
, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула
где
— объём окрестности ![\ Q_r.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a5783eefa2b953f268fe6de146958f8b9b7806)
Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.
Доказательство этих формул можно найти, например, в[3].
Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции
Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.
Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат
В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве
:
![\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f229a97594f7e5b2d4ac45b7536309a266499238)
![=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20976c3be6b574fb20939f284033ac2c05f005ac)
- где
— коэффициенты Ламе.
В цилиндрических координатах вне прямой
:
![\Delta f
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
\left( r {\partial f \over \partial r} \right)
+ {\partial^2f \over \partial z^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac5348256afe2f75d9d314dbba7d78ed1237a04)
В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):
![\Delta f
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
\left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
\left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)
+ {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4df375af88e5634bedafcf2cbe1c99ce4472062)
или
![\Delta f
= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}
\left( rf \right)
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
\left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/801604be41ba7030e10b2581f1f2ca75d6340554)
В случае если
в n-мерном пространстве:
![\Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc03724f32b9d3124c333b806e5b60b12ce8c48)
В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:
![\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}
\left[
\frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma}
\left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) +
\frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau}
\left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70817e419f2c0c845d8e553d32111fb9d54f2971)
В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:
![\Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b52cf63665f311548adc0b0285c91488fe08de4)
Пусть на гладком многообразии
задана локальная система координат и
— риманов метрический тензор на
, то есть метрика имеет вид
.
Обозначим через
элементы матрицы
и
.
Дивергенция векторного поля
, заданного координатами
(и представляющего дифференциальный оператор первого порядка
) на многообразии X вычисляется по формуле
,
а компоненты градиента функции f — по формуле
![(\nabla f)^{j}=\sum _{i=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17265a29f4af6d3583b7924a091da8712fd6f257)
Оператор Лапласа — Бельтрами на
:
![\Delta f=\operatorname {div}(\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {g}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}{\Big (}{\sqrt {g}\sum _{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}{\Big )}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f69d50270e4d6b4ec90dc6a67835966d4eb8a7)
Значение
является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.
Применение
С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.
Вариации
См. также
Примечания
- ↑ Стоит избегать обозначения для оператора Лапласа в виде квадрата оператора набла, поскольку из такой записи непонятно, скалярное или векторное произведение подразумевается под возведением в квадрат.
- ↑ В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Оператор Лапласа" и "Ротор векторного поля".
- ↑ Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. М. Наука. 1968 г. 208с.
Ссылки