Формула Стирлинга

Отношение (ln n!) к (n ln n − n) стремится к 1 с увеличением n

В математике формула Стирлинга (также формула Муавра — Стирлинга) — формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции. Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра, последний считается автором формулы[1].

Наиболее используемый вариант формулы:

Следующий член в это ; таким образом более точная аппроксимация:

что эквивалентно

Часто формулу Стирлинга записывают в виде

где , . Более точную оценку даёт формула

где , .

В последней формуле максимальное значение в действительности меньше 1 и примерно равно 0,7509.

Формула Стирлинга является приближением, полученным из разложения факториала в ряд Стирлинга, который при имеет вид

где  — числа Бернулли с номером .

В этой формуле используется символ эквивалентности вместо равенства, так как ряд расходится при каждом фиксированном , однако он является асимптотическим разложением факториала при .

Ссылки

  1. Pearson, Karl (1924), "Historical note on the origin of the normal curve of errors", Biometrika, 16: 402–404 [p. 403], doi:10.2307/2331714: «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна . Я считаю, что это не делает его автором теоремы».