Neki od diferencijalnih operatori primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija.
Formalna definicija
Neka je i neka označava skup svih radij-vektora u koordinatnom sustavu , tj.
.
Kažemo da je funkcija skalarne varijable (kraće: vektorska funkcija ili vektorsko polje) svaka funkcija
Drugim riječima, vektorsko polje je prostorna funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor.
Potencijalno vektorsko poljeSolenoidno vektorsko poljeLaplaceovo vektorsko poljeOpće vektorsko polje
Transformacije sustava
Neka je i vektorsko polje u euklidskim
koordinatama. Ukoliko je neki drugi koordinatni sustav na S, tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu
:
Napomene
Za V se kaže da je Ck vektorsko polje, ako je ono k puta diferencijabilno.
Jako je važno razlikovati vektorsko i skalarno polje! Što vrijedi za vektore i skalare, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u koordinatnim transformacijama: skalar sam po sebi jest koordinata, dok je vektor opisan koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje koordinate, a vektorsko vektore.
Primjene
Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici, npr.
Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje u (!), gdje je svaka točka opisana sa sedam koordinata: (polje je zavisno o vremenu!).