Zmajolika krivulja
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Drachen_p.png/220px-Drachen_p.png)
Zmajolika krivulja (en. Dragon curve) je beskonačno gusta krivulja koja je dobila ime po mitološkom biću kojemu sliči[1]. Ponekad se to ime koristi za sve fraktalne krivulje koje se mogu konstruirati rekurzivnim metodama kao što je Lindenmayerov sustav.
Heighwayova zmajolika krivulja
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Dragon_curve_iterations_1%2C2%2C3%2C4%2C5%2C9.svg/150px-Dragon_curve_iterations_1%2C2%2C3%2C4%2C5%2C9.svg.png)
Zmajolikom krivuljom (u užem smislu) obično se naziva ova krivulja. Prvi su je istraživali NASA-ini fizičari John Heighway, Bruce Banks i William Harter. Opisao ju je Martin Gardner u kolumni Matematičke igre (Mathematical Games) u časopisu Scientific American 1967. godine. Bila je nacrtana na naslovnim stranicama dijelova romana Michaela Crichtona Jurski park.
Konstrukcija
Najčešće se crta pomoću L-sustava:
- kut: 90
- početak: FX
- pravila:
- X X + Y F +
- Y - F X - Y
- značenje:
- F = "crtaj naprijed"
- - = "zakreni u smjeru kazaljke na satu za 90"
- + = "zakreni u smjeru suprotnom od smjera kazaljke na satu za 90"
Dakle,
- prva iteracija: F X + Y F +
- druga iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F +
- treća iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F + + - F X + Y F + - - F X - Y F +
- četvrta iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F + + - F X + Y F + - - F X - Y F + + - F X + Y F + + - F X - Y F + - - F X + Y F + - - F X - Y F +
Osim toga, moguće ju je prikazati i kao sustav rekurzivnih funkcija u kompleksnoj ravnini:
- .
Svojstva
Unatoč čudnom obliku, zmajolika krivulja ima relativno jednostavne dimenzije:
Površina se jednostavno može vidjeti iz njezina popločenja: površina slike gore jest pola kvadratne jedinice.
Samosličnost je jasno vidljiva: svaki "dio" je manji za i rotiran za 45˚.
Fraktalna dimenzija joj je, kao i svim beskonačno gustim krivuljama u ravnini 2, a fraktalna dimenzija njezine granice se procjenjuje na 1.5238.
Davis-Knuthova zmajolika krivulja
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Twindragon.png/220px-Twindragon.png)
Na engleskom poznatija pod nazivom twindragon ("zmajevi blizanci"). Dobije se postavljajući dvije zmajolike krivulje jednu do druge (leđa o leđa) ili sustavom iteriranih funkcija:
- .
Povezano
- Fraktali
- Beskonačno guste krivulje
- Peanova krivulja
- Hilbertova krivulja
- Krivulja Sierpińskog
- Lindenmayerov sustav (L-sustav)