Engelov razvoj

Engelov razvoj (angleško Engel expansion) pozitivnega realnega števila x je enolično nepadajoče zaporedje pozitivnih celih števil ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \}$, da velja:

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}+\cdots \!\,.}$

Racionalna števila imajo končni Engelov razvoj, iracionalna pa neskončnega. Če je x racionalen, Engelov razvoj zagotavlja predstavitev x kot egipčanski ulomek. Engelovi razvoji se imenujejo po Friedrichu Engelu, ki jih je raziskoval leta 1913.^[1]

Kraaikamp in Wu sta pokazala, da je moč Engelov razvoj zapisati tudi kot naraščajočo različico verižnega ulomka:^[2]

${\displaystyle x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}{\displaystyle a_{2}{\displaystyle a_{1}\!\,.}$

Trdita da je naraščajoče verižne ulomke takšne oblike raziskoval že Leonardo Fibonacci v delu Knjiga o abaku (Liber Abaci) leta 1202. Izhajata iz Fibonaccijevega sestavljenega zapisa ulomkov, kjer ima zaporedje števcev in imenovalcev skupno ulomkovo črto, in predstavlja naraščajoči verižni ulomek:

${\displaystyle {\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h}={\frac {d+{\frac {c+{\frac {b+{\frac {a}{e}{f}{g}{h}\equiv \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \}\!\,.}$

Če imajo v takšnem zapisu, ki so pojavi na več mestih v Fibonaccijevem delu, vsi števci vrednost 0 ali 1, je zapis enak Engelovemu razvoju. Vendar splošni postopek Engelovega razvoja, kot se zdi, ni opisal Fibonacci.

Za iskanje Engelovega razvoja x naj je:

${\displaystyle u_{1}=x\!\,,}$

${\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}\right\rceil \!\,,}$

in:

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle \left\lceil r\right\rceil }$ zgornji celi del (najmanjše celo število večje ali enako od r).

Če je ${\displaystyle u_{i}=0}$ za kakšen i, se algoritem ustavi.

Za Engelov razvoj števila 1,175 imamo:

${\displaystyle u_{1}=1,175,\quad a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1,175}\right\rceil =1;}$

${\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1,175\cdot 1-1=0,175,\quad a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0,175}\right\rceil =6;}$

${\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0,175\cdot 6-1=0,05,\quad a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0,05}\right\rceil =20;}$

${\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0,05\cdot 20-1=0\!\,.}$

Zaporedje se tu konča. Tako je:

${\displaystyle 1,175={\frac {1}{1}+{\frac {1}{1\cdot 6}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}$

in Engelov razvoj števila ${\displaystyle 1,175}$ je ${\displaystyle \{1,6,20\}\;}$.

Vsako pozitivno racionalno število ima enolični končni Engelov razvoj. Če je v algoritmu za Engelov razvoj u_i racionalno število x/y, potem je u_i+1 = (−y mod x)/y. Zaradi tega se v vsakem koraku števec preostalega ulomka u_i poveča in se mora proces konstruiranja Engelovega razvoja končati v končnem številu korakov. Vsako racionalno število ima tudi enoličen neskončni Engelov razvoj. S pomočjo enakosti:

${\displaystyle {\frac {1}{n}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}\!\,}$

se lahko končna števka n v končnem Engelovem razvoju zamenja z neskončnim zaporedjem členov (n + 1), ne da bi se vrednost števila spremenila. Na primer:

${\displaystyle 1,175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots \}\!\,.}$

To je podobno dejstvu da ima vsako racionalno število s končnim številom decimalk tudi neskončni decimalni zapis (glej 0,999...).

simbol	Engelov razvoj	OEIS	ime
${\displaystyle \pi \;}$	${\displaystyle \{1,1,1,8,8,17,19,300,1991,2492,\dots \}\;}$	A006784	π
${\displaystyle e\;}$	${\displaystyle \{1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,\dots \}\;}$ V splošnem: ${\displaystyle e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}\;}$	A000027	e
${\displaystyle K_{0}\;}$	${\displaystyle \{1,1,2,3,9,70,117,503,648,1078,12868,41235,178650,\dots \}\;}$	A054544	Hinčinova konstanta
${\displaystyle {\sqrt {3}\;}$	${\displaystyle \{1,2,3,3,6,17,23,25,27,73,\dots \}\;}$	A028257	kvadratni koren iz 3
${\displaystyle \zeta (2)\;}$	${\displaystyle \{1,2,4,7,9,22,35,79,2992,3597,17523,28632,41470,53093,\dots \}\;}$	A059186	ζ(2)
${\displaystyle \Phi \;}$	${\displaystyle \{1,2,5,6,13,16,16,38,48,58,104,\dots \}\;}$	A028259	število zlatega reza
${\displaystyle {\sqrt {2}\;}$	${\displaystyle \{1,3,5,5,16,18,78,102,120,144,\dots \}\;}$	A028254	kvadratni koren iz 2
${\displaystyle \zeta (3)\;}$	${\displaystyle \{1,5,98,127,923,5474,16490,25355,37910,85150,\dots \}\;}$	A053980	ζ(3) (Apéryjeva konstanta)
${\displaystyle 1\;}$	${\displaystyle \{2,2,2,2,2,\dots \}\;}$		1
${\displaystyle K\;}$	${\displaystyle \{2,2,2,4,4,5,5,12,13,41,110,\dots \}\;}$	A054543	Catalanova konstanta
${\displaystyle \gamma \;}$	${\displaystyle \{2,7,13,19,85,2601,9602,46268,4812284,\dots \}\;}$	A053977	Euler-Mascheronijeva konstanta

V splošnem je Engelov razvoj s konstantnimi členi geometrično zaporedje.

• Pierceov razvoj

• Engel, Friedrich (1913), »Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen«, Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg: 190–191
• Kraaikamp, Cor; Wu, Jun (2004), »On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients«, Monatshefte für Mathematik, 143: 285–298, doi:10.1007/s00605-004-0246-3

• Engelovi razvoji (angleško)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Engel Expansion«. MathWorld.