Розклад Енгеля

Розклад Енгеля додатного дійсного числа ${\displaystyle x}$ — єдина неспадна послідовність додатних натуральних чисел ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \}$ таких, що

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}+\cdots .}$

Нариклад, константа Ейлера ${\displaystyle {\rm {e}$ має такий розклад Енгеля^[1]

${\displaystyle 1,1,2,3,4,5,6,7,8,\dots ,}$

що відповідає нескінченному ряду

${\displaystyle {\rm {e={\frac {1}{1}+{\frac {1}{1}+{\frac {1}{1\cdot 2}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots .}$

Раціональні числа мають скінченний розклад Енгеля, а ірраціональні числа — нескінченний розклад Енгеля. Якщо ${\displaystyle x}$ — раціональне, його розклад Енгеля забезпечує подання ${\displaystyle x}$ у вигляді єгипетського дробу. Енгельські розклади названі на честь Фрідріха Енгеля^[en], який вивчав їх у 1913 році.

Розклад, аналогічний розкладу Енгеля, зі знакозмінними доданками називається розкладом Пірса.

Краайкамп і Ву помітили, що розклад Енгеля також може бути записаний як висхідний варіант ланцюгового(неперервного) дробу:

${\displaystyle x={\frac {1+{\dfrac {1+{\dfrac {1+\cdots }{a_{3}{a_{2}{a_{1}.}$

Вони стверджують, що висхідні неперервні дроби, подібні до цього, вивчав ще Фібоначчі в Книзі Абака (1202). Це твердження, мабуть, посилається на позначення складних дробів Фібоначчі, в яких послідовність чисельників і знаменників, що використовують одну спільну риску дробу, представляють висхідний неперервний дріб:

${\displaystyle {\frac {abcd}{efgh}={\frac {d+{\dfrac {c+{\dfrac {b+{\dfrac {a}{e}{f}{g}{h}.}$

Якщо в цьому позначенні всі чисельники рівні 0 або 1, як з'являється в деяких місцях у Книзі Абака, то результатом буде розклад Енгеля. Однак, схоже, розклад Енгеля, як загальна техніка, не описаний Фібоначчі.

Щоб знайти розклад Енгеля для числа ${\displaystyle x}$, задамо

${\displaystyle u_{1}=x,}$

${\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}\right\rceil ,}$

і

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1,}$

де ${\displaystyle \lceil r\rceil }$ — функція стелі (найменше ціле не менше ${\displaystyle r}$).

Якщо ${\displaystyle u_{i}=0}$ для деякого ${\displaystyle i}$, то зупиняємо алгоритм.

Інший еквівалентний метод — розглянути функцію^[1]

${\displaystyle g(x)=x\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1}$

і покласти

${\displaystyle u_{k}=1+\left\lfloor {\frac {1}{g^{(n-1)}(x)}\right\rfloor ,}$

де

${\displaystyle g^{(n)}(x)=g{\big (}g^{(n-1)}(x){\big )}\qquad {\text{і}\qquad g^{(0)}(x)=x.}$

Ще один еквівалентний метод, який називається модифікованим розкладом Енгеля, — обчислення за допомогою функції

${\displaystyle h(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}\right\rfloor g(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}\right\rfloor \left(x\left\lfloor {\frac {1}{x}\right\rfloor +x-1\right)}$

і

${\displaystyle u_{k}={\begin{cases}1+\left\lfloor {\dfrac {1}{x}\right\rfloor ,&n=1,\\\left\lfloor {\dfrac {1}{h^{(k-2)}(x)}\right\rfloor \left(1+\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-1)}(x)}\right\rfloor \right),&n\geq 2.\end{cases}$

Оператор переміщення^[en] Фробеніуса–Перрона функції Енгеля ${\displaystyle g(x)}$ діє на функцію ${\displaystyle f(x)}$ наступним чином:

${\displaystyle \left[\iota _{g}f\right](x)=\sum _{y\colon g(y)=x}{\frac {f(y)}{\left|{\dfrac {\rm {d}{\rm {d}_{z}g(z)\right|_{z=y}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f\left({\frac {x+1}{n+1}\right)}{n+1},}$

оскільки

${\displaystyle {\frac {\rm {d}{\rm {d}_{x}(x(n+1)-1)=n+1,}$

а інверсією n-ї компоненти є ${\displaystyle {\frac {x+1}{n+1}$, що знайдений розв'язанням ${\displaystyle x(n+1)-1=y}$ відносно ${\displaystyle x}$.

Перетворення Мелліна функції ${\displaystyle g(x)}$ пов'язане з ${\displaystyle \zeta }$ — функцією Рімана за допомогою формули

${\displaystyle \int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,{\rm {d}x=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}^{\frac {1}{n}(x(n+1)-1)x^{s-1}dx=}$

${\displaystyle \qquad {}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}{(s+1)s(n+1)}=}$

${\displaystyle \qquad {}={\frac {\zeta (s)}{s+1}-{\frac {1}{s(s+1)}.}$

Для знаходження розкладу Енгеля для числа ${\displaystyle 1{,}175}$ виконаємо наступні кроки:

${\displaystyle u_{1}=1{,}175,\qquad a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1{,}175}\right\rceil =1;}$

${\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1{,}175\cdot 1-1=0{,}175,\qquad a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}175}\right\rceil =6;}$

${\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0{,}175\cdot 6-1=0{,}05,\qquad a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}05}\right\rceil =20;}$

${\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0{,}05\cdot 20-1=0.}$

Отже,

${\displaystyle 1{,}175={\frac {1}{1}+{\frac {1}{1\cdot 6}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20},}$

а розклад Енгеля для числа ${\displaystyle 1{,}175}$ має вигляд ${\displaystyle \{1,6,20\}$.

Кожне додатне раціональне число має унікальний скінченний розклад Енгеля. В алгоритмі розкладу Енгеля, якщо ${\displaystyle u_{i}$ є раціональним числом ${\displaystyle ~{\frac {x}{y}$, то

${\displaystyle u_{i+1}={\frac {(-y\mod x)}{y}.}$

Тому на кожному кроці чисельник u_i у дробі, що залишається, зменшується, а тому процес побудови розкладу Енгеля повинен закінчуватися. Кожне раціональне число також має єдиний нескінченний розклад Енгеля: з використанням тотожності

${\displaystyle {\frac {1}{n}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}$

останнє число ${\displaystyle n}$ в скінченному розкладі Енгеля можна замінити нескінченною послідовністю чисел ${\displaystyle (n+1)}$ без зміни його значення. Наприклад,

${\displaystyle 1{,}175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots \}.}$

Це аналогічно тому, що будь-яке раціональне число зі скінченним десятковим представленням також має нескінченне десяткове представлення (див. ${\displaystyle 0{,}999\dots }$). Нескінченний розклад Енгеля з рівними доданками буде геометричним рядом.

Ердеш, Реній і Шуш поставили задачу про нетривіальні оцінки довжини скінченного розкладу Енгеля для раціонального числа ${\displaystyle {\frac {x}{y}$, яка була розв'язана Ердошем і Шаллітом^[en]: було доведено, що кількість доданків у розкладі є ${\displaystyle O{\big (}y^{1/3+\varepsilon }{\big )}$ для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$.^[2]

${\displaystyle \pi =\{1,1,1,8,8,17,19,300,1991,2492,\dots \}$(послідовність A006784 в OEIS);

${\displaystyle {\sqrt {2}=\{1,3,5,5,16,18,78,102,120,144,\dots \}$(послідовність A006784 в OEIS);

${\displaystyle {\rm {e}=\{1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,\dots \}$(послідовність A006784 в OEIS).

І в загальному випадку,

${\displaystyle {\rm {e}^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}.}$

Коефіцієнти ${\displaystyle a_{i}$ розкладу Енгеля, як правило, демонструють експоненційне зростання; точніше, для майже всіх чисел на проміжку ${\displaystyle (0,1]}$ границя ${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{1/n}$ існує і дорівнює ${\displaystyle {\rm {e}$. Однак, підмножина інтервалу для якого це не виконується є достатньо великою, щоб її розмірність Хаусдорфа дорівнювала одиниці.^[3]

Така сама типова швидкість зростання застосовується до членів в розкладі утвореному жадібним алгоритмом для єгипетських дробів^[en]. Однак множина дійсних чисел в інтервалі ${\displaystyle (0,1]}$ для яких розклади Енгеля збігаються з їх жадібними розкладами має міру нуля, а розмірність Хаусдорфа — ${\displaystyle 1/2}$.^[4]

• Weisstein, Eric W. Engel Expansion. MathWorld–A Wolfram Web Resource. Архів оригіналу за 13 грудня 2015. Процитовано 24 березня 2020.