F porazdelitev

F porazdelitev
oznaka	${\displaystyle F(d_{1},d_{2})\!}$
parametri	${\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}$ (prostostni stopnji)
interval	${\displaystyle x\in [0,+\infty )\!}$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}\,\,d_{2}^{d_{2}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}{2},{\frac {d_{2}{2}\right)}\!}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!}$
pričakovana vrednost	${\displaystyle {\frac {d_{2}{d_{2}-2}\!}$ za ${\displaystyle d_{2}>2}$
mediana
modus	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}\;{\frac {d_{2}{d_{2}+2}\!}$ za ${\displaystyle d_{1}>2}$
varianca	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}\!}$ za ${\displaystyle d_{2}>4}$
simetrija	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}\!}$ za ${\displaystyle d_{2}>6}$
sploščenost	glej lastnosti - levo
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	ne obstoja, momenti so lahko določeni kjerkoli
karakteristična funkcija	določljiva kjerkoli

F porazdelitev (tudi Fisherjeva porazdelitev) je družina nesimetričnih zveznih verjetnostnih porazdelitev ^[1][2][3]. Znana je tudi kot Snedekorjeva F porazdelitev ali Fisher-Snedekorjeva porazdelitev (imenuje se po angleškem statistiku, evolucijskem biologu in genetiku Ronaldu Aylmerju Fisherju (1890 – 1962) in ameriškem matematiku in statistiku Georgu Waddelu Snedekorju (1881 – 1974)).

Najbolj pogosto se uporablja v analizi variance (ugotavljanje, če imata dva vzorca isto varianco, glej tudi F test za hipoteze o enakosti varianc v dveh normalno porazdeljenih statističnih populacijah) in v regresijski analizi. Porazdelitev sama je porazdelitev razmerja dveh neodvisnih spremenljivk, ki imata porazdelitvi hi-kvadrat (podobno porazdelitvi varianc v normalno porazdeljenih vzorcih)

${\displaystyle {\frac {U_{1}/d_{1}{U_{2}/d_{2}$

kjer sta

• ${\displaystyle U_{1}\!}$ in ${\displaystyle U_{2}\!}$ dve neodvisni spremenljivki, ki imata porazdelitev hi-kvadrat
• ${\displaystyle d_{1}\!}$ in ${\displaystyle d_{2}\!}$ pa pripadajoči prostostni stopnji porazdelitve (glej porazdelitev hi-kvadrat).

Funkcija gostote verjetnosti za F porazdelitev je

${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}\,\,d_{2}^{d_{2}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}{2},{\frac {d_{2}{2}\right)}\!}$

kjer je

• ${\displaystyle B(x,y)\!}$ funkcija beta

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!}$

kjer je

• ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}$ regulirana nepopolna funkcija beta

Pričakovana vrednost je za ${\displaystyle d_{2}>2}$ enaka

${\displaystyle {\frac {d_{2}{d_{2}-2}\!}$.

Varianca je za ${\displaystyle d_{2}>4}$ enaka

${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}\!}$.

Sploščenost je enaka

${\displaystyle {\frac {20d_{2}-8d_{2}^{2}+d_{2}^{3}+44d_{1}-32d_{1}d_{2}+A}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)/12}$

kjer je

• ${\displaystyle A=5d_{2}^{2}d_{1}-22d_{1}^{2}+5d_{2}d_{1}^{2}-16.}$

• če je ${\displaystyle X\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})\!}$ potem ima slučajna spremenljivka ${\displaystyle Y=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}X}$ hi-kvadrat porazdelitev ${\displaystyle \chi _{\nu _{1}^{2}$
• Porazdelitev ${\displaystyle \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$ je enaka Hotellingovi t kvadrat porazdelitvi ${\displaystyle (\nu _{1}(\nu _{1}+\nu _{2}-1)/\nu _{2})\operatorname {T} ^{2}(\nu _{1},\nu _{1}+\nu _{2}-1)}$.
• Če je ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2}),}$ potem velja tudi ${\displaystyle {\frac {1}{X}\sim F(\nu _{2},\nu _{1})}$.
• Če ima spremenljivka ${\displaystyle X\sim \mathrm {t} (\nu )\!}$ Študentovo t porazdelitev potem velja ${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} (\nu _{1}=1,\nu _{2}=\nu )}$.
• Če je ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$ in${\displaystyle Y={\frac {\nu _{1}X/\nu _{2}{1+\nu _{1}X/\nu _{2}$ potem velja za slučajno spremenljivko ${\displaystyle Y\!}$, da ima porazdelitev beta ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Beta} (\nu _{1}/2,\nu _{2}/2)}$.
• Če je ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$ kvantil ${\displaystyle p}$ za ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$ in je ${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$ kvantil ${\displaystyle 1-p}$ for ${\displaystyle Y\sim \operatorname {F} (\nu _{2},\nu _{1})}$ potem je ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)=1/\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$.

• Prikaz simulacije F porazdelitve (angleško)
• Kalkulator za F porazdelitev Arhivirano 2010-01-26 na Wayback Machine. (angleško)
• Opis uporabe f porazdelitve (angleško)

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev