Odvod količnika

V infinitezimalnem računu je odvod količnika metoda iskanja odvoda funkcije, ki je razmerje dveh odvedljivih funkcij.^[1][2][3] Naj je ${\displaystyle f(x)=g(x)/h(x),}$ kjer sta ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle h}$ odvedljivi in ${\displaystyle h(x)\neq 0.}$ Pravilo količnika pravi, da je odvod funkcije ${\displaystyle f(x)}$ enak

${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}.}$

1. Osnovni primer:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}{\frac {e^{x}{x^{2}&={\frac {\left({\frac {d}{dx}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}\\&={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}\\&={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}.\end{aligned}$

2. Odvod količnika se lahko uporabi za iskanje odvoda ${\displaystyle f(x)=\tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}$:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}\tan x&={\frac {d}{dx}{\frac {\sin x}{\cos x}\\&={\frac {\left({\frac {d}{dx}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}=\sec ^{2}x.\end{aligned}$

Naj je ${\displaystyle f(x)=g(x)/h(x).}$ Z uporabo definicije odvoda in lastnosti limite, dobimo spodnji dokaz.

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {\frac {g(x+k)}{h(x+k)}-{\frac {g(x)}{h(x)}{k}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k\cdot h(x)h(x+k)}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{h(x)h(x+k)}\\&=\left(\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x)+g(x)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}\right)\cdot {\frac {1}{h(x)^{2}\\&=\left(\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x)}{k}-\lim _{k\to 0}{\frac {g(x)h(x+k)-g(x)h(x)}{k}\right)\cdot {\frac {1}{h(x)^{2}\\&=\left(h(x)\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}-g(x)\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}\right)\cdot {\frac {1}{h(x)^{2}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}.\end{aligned}$

Naj je ${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)},}$ torej ${\displaystyle g(x)=f(x)h(x).}$ Pravilo produkta nam poda ${\displaystyle g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x).}$ Rešimo za ${\displaystyle f'(x)}$ in vrnemo ${\displaystyle f(x)}$ ter dobimo:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}\\&={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}.\end{aligned}$

Naj bo ${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}=g(x)h(x)^{-1}.}$ Tako nam pravilo kompozituma da

${\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\cdot {\frac {d}{dx}(h(x)^{-1}).}$

Da dobimo odvod v drugem delu, uporabimo odvod potence in odvod kompozituma:

${\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\cdot (-1)h(x)^{-2}h'(x).}$

Na koncu še prepišemo kot ulomke in združimo skupne člene ter dobimo

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)}{h(x)}-{\frac {g(x)h'(x)}{h(x)^{2}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}.\end{aligned}$

Za izračun n-tega odvoda količnika lahko uporabimo implicitno odvajanje (delno v prvih n − 1 odvodih). Na primer, dvakratno odvajanje funkcije ${\displaystyle fh=g}$ (ki je ${\displaystyle f''h+2f'h'+fh''=g''}$) in reševanje za ${\displaystyle f''}$ poda

${\displaystyle f''=\left({\frac {g}{h}\right)''={\frac {g''-2f'h'-fh''}{h}.}$