商の微分法則
微分積分学における商の法則(しょうのほうそく、英: quotient rule)は二つの可微分函数の比(商)となっている函数の導函数の計算を述べるものである[1][2][3]。
主張
具体的に g, h はともに可微分で h(x) ≠ 0 として f(x) = g(x)/h(x) と書けば、この商 f の微分は
で与えられる。
陰函数微分による証明 — f(x) = g(x)/h(x) ならば g(x) = f(x)h(x) であるから、積の法則により
となり、f′ について解けば
を得る。
導関数の定義式を用いた証明 —
微分すべき関数をh(x) = f(x)/g(x)とおけば次の様な極限が成り立つ。
∴
□
例
- f(x) ≔ tan(x) = sin(x)/cos(x) の導函数を求めるのに商の法則が利用できる:

高階版
陰函数微分を用いれば、商の n-階微分も((n −1)-階までの導函数を用いて)計算することができる。例えば、f⋅h = g を両辺二回微分して f″ について解けば
を得る。
関連項目
参考文献