Projekcija (linearna algebra)

Projekcija je v linearni algebri linearna transformacija ${\displaystyle P\,}$ iz vektorskega prostora v samega sebe tako, da je ${\displaystyle P^{2}=P\,}$. Projekcija ohranja sliko nespremenjeno.

Pravokotna ali ortogonalna projekcija točk ${\displaystyle (x,y,z)\,}$ iz evklidskega prostora ${\displaystyle R^{3}\,}$ na ravnino x-y lahko prikažemo z matriko

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}.}$

Delovanje te projekcije na poljubno točko lahko zapišemo kot

${\displaystyle P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}$.

Enostaven primer nepravokotne oziroma poševne projekcije točk na premico se lahko opiše z matriko

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}.}$.

Lahko se pokaže, da je

${\displaystyle T^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}=T.}$

to pa pomeni, da je ${\displaystyle T\,}$ res projekcija.

Projekcija ${\displaystyle T\,}$ je pravokotna samo, če in samo, če je ${\displaystyle \alpha =0\,}$.