Проєкційна матриця
Квадратна матриця
P
{\displaystyle \ P}
з комплексними елементами називається проєкційною , якщо виконується
P
=
P
2
.
{\displaystyle \ P=P^{2}.}
Якщо виконується
P
=
P
∗
P
,
{\displaystyle \ P=P^{*}P,}
то матриця
P
{\displaystyle \ P}
називається ортогонально-проєкційною .
Проєкційні матриці
P
1
,
P
2
{\displaystyle \ P_{1},P_{2}
називаються ортогональними , якщо
P
1
P
2
=
P
2
P
1
=
0.
{\displaystyle \ P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0.}
З точки зору абстрактної алгебри проєкційні матриці — це ідемпотентні елементи кільця квадратних матриць.
Властивості
Кожна ортогональна-проєкційна матриця є проєкційною і одночасно ермітовою матрицею, оскільки:
P
=
P
∗
P
⇒
P
∗
=
(
P
∗
P
)
∗
=
P
⇒
P
=
P
2
.
{\displaystyle \ P=P^{*}P\quad \Rightarrow \quad P^{*}=(P^{*}P)^{*}=P\quad \Rightarrow \quad P=P^{2}.}
Якщо матриця
P
{\displaystyle \ P}
є проєкційною , то матриці
P
n
,
(
I
−
P
)
n
,
P
∗
∀
n
∈
N
{\displaystyle \ P^{n},\;(I-P)^{n},\;P^{*}\quad \forall n\in \mathbb {N} }
теж будуть проєкційними.
Якщо матриця
P
{\displaystyle P\!}
є ортогонально-проєкційною , то матриці
P
n
,
(
I
−
P
)
n
∀
n
∈
N
{\displaystyle \ P^{n},\;(I-P)^{n}\quad \forall n\in \mathbb {N} }
теж будуть ортогонально-проєкційними.
Якщо матриця
P
{\displaystyle P\!}
є ортогонально-проєкційною , то
∀
x
,
y
:
P
x
⊥
(
I
−
P
)
y
.
{\displaystyle \ \forall x,y:\quad Px\perp (I-P)y.}
Ортогональні проєктори на підпростір
Найпростішим випадком ортогональної проєкції є проєкція на лінію вектора . Якщо u є одиничним вектором , тоді проєктором на лінію вздовж вектора буде матриця
P
u
=
u
u
⊤
.
{\displaystyle \ P_{u}=uu^{\top }.}
Довільна прямокутна матриця
A
∈
C
m
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}
вводить дві ортогонально-проєкційні матриці:
P
(
A
)
=
A
+
A
∈
C
n
×
n
{\displaystyle P(A)=A^{+}A\;\in \mathbb {C} ^{n\times n}
— проєктор в просторі
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}
на підпростір векторів-рядків матриці
A
,
{\displaystyle \ A,}
P
(
A
∗
)
=
A
A
+
∈
C
m
×
m
{\displaystyle P(A^{*})=AA^{+}\;\in \mathbb {C} ^{m\times m}
— проєктор в просторі
C
m
{\displaystyle \mathbb {C} ^{m}
на підпростір векторів-стовпців матриці
A
.
{\displaystyle \ A.}
Z
(
A
)
=
I
n
−
P
(
A
)
,
{\displaystyle \ Z(A)=I_{n}-P(A),}
Z
(
A
∗
)
=
I
m
−
P
(
A
∗
)
.
{\displaystyle \ Z(A^{*})=I_{m}-P(A^{*}).}
Для
P
(
A
∗
)
,
Z
(
A
∗
)
{\displaystyle \ P(A^{*}),Z(A^{*})}
ще використовують позначення
P
A
∥
{\displaystyle P_{A}^{\parallel }
та
P
A
⊥
{\displaystyle P_{A}^{\perp }
відповідно.
A
+
{\displaystyle \ A^{+}
— псевдообернена матриця до матриці A .
Приклади
Одинична матриця є проєктивною.
P
=
[
1
0
0
0
1
0
0
0
0
]
⇒
P
(
x
y
z
)
=
(
x
y
0
)
.
{\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\quad \Rightarrow \quad P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}.}
P
=
[
0
0
α
1
]
⇒
P
2
=
[
0
0
α
1
]
[
0
0
α
1
]
=
[
0
0
α
1
]
=
P
.
{\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}\quad \Rightarrow \quad P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}=P.}
Застосування
Див. також
Джерела
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd