Stopnja polinoma

Stopnja polinoma je enaka najvišji potenci med vsemi členi z neničelnim koeficientom v polinomu, ki se ga izrazi v kanonski obliki (to pomeni kot vsoto oziroma razliko posameznih členov). Stopnja posameznih členov je enaka vsoti potenc posameznih spremenljivk v členu. Zgled: polinom ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x+9\,}$ (polinom se lahko piše kot ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0})\,}$, ki ima tri člene. Prvi člen ima stopnjo 5 (2 + 3), drugi člen ima stopnjo 1, zadnji člen pa ima stopnjo 0. To pomeni, da ima polinom stopnjo 5.

Spodaj so navedena imena polinomov za posamezne stopnje ^[1]:

• stopnja 0 – konstanta
• stopnja 1 – linearni polinom
• stopnja 2 – kvadratni polinom
• stopnja 3 – kubični polinom
• stopnja 4 – kvartični polinom (ali redkeje bikvadratni)
• stopnja 5 – kvintični polinom
• stopnja 6 – sekstični polinom (ali redkeje heksični)
• stopnja 7 – septični polinom (ali redkeje heptični)
• stopnja 8 – oktični polinom
• stopnja 9 – nonični polinom
• stopnja 10 – decični polinom
• stopnja 100 – hektični polinom

Stopnja vsote ali razlike dveh polinomov je enaka ali manjša njihovih stopenj:

${\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max(\deg(P)\deg(Q))\!\,,}$

${\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max(\deg(P)\deg(Q))\!\,,}$

kjer je:

• z ${\displaystyle \deg()\,}$ označena stopnja (tudi v nadaljevanju).

Stopnja produkta dveh polinomov je enaka vsoti njunih stopenj:

${\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)\!\,.}$

Stopnja kompozituma dveh polinomov je enaka produktu njunih stopenj:

${\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)\!\,.}$

Funkcija ${\displaystyle f(x)=0\,}$ je tudi polinom, ki se imenuje ničelni polinom.

Stopnja polinoma ${\displaystyle f\,}$ se lahko izračuna tudi s pomočjo obrazca:

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}\!\,.}$

Ta obrazec posplošuje pojem stopnje tako, da se lahko določi stopnjo za funkcije, ki niso polinomi.

Primeri:

• recipročna vrednost (${\displaystyle 1/x\,}$) ima stopnjo enako -1
• kvadratni koren (${\displaystyle {\sqrt {x}\,}$) ima stopnjo enako 1/2
• logaritem (${\displaystyle \log x\,}$) ima stopnjo 0
• eksponentna funkcija (${\displaystyle e^{x}\,}$ ali ${\displaystyle \exp x\,}$) ima stopnjo ${\displaystyle \infty \,}$.

Drugi obrazec, ki omogoča izračunavanje stopnje pa je:

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}\!\,.}$

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Polynomial Degree«. MathWorld.
• Stopnja polinoma v Art of Problem Solving (angleško)