Shpërndarja e arksinusit

Page Stampa:Infobox probability distribution/styles.css has no content.

Arksinus

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	asnjë
Support	${\displaystyle x\in [0,1]}$
PDF	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}$
CDF	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }\arcsin \left({\sqrt {x}\right)}$
Mean	${\displaystyle {\frac {1}{2}$
Median	${\displaystyle {\frac {1}{2}$
Mode	${\displaystyle x\in \{0,1\}$
Variance	${\displaystyle {\tfrac {1}{8}$
Skewness	${\displaystyle 0}$
Excess kurtosis	${\displaystyle -{\tfrac {3}{2}$
Entropy	${\displaystyle \ln {\tfrac {\pi }{4}$
MGF	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {2r+1}{2r+2}\right){\frac {t^{k}{k!}$
CF	${\displaystyle {}_{1}F_{1}({\tfrac {1}{2};1;i\,t)\ }$

Në teorinë e probabilitetit, shpërndarja e arksinusit është shpërndarja e probabilitetit, funksioni mbledhës i shpërndarjes të së cilës përfshin arksinusin dhe rrënjën katrore :

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }\arcsin \left({\sqrt {x}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }+{\frac {1}{2}$

për 0 ≤ x ≤ 1, dhe funksioni i densitetit të probabilitetit të të cilit është

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}$

në ${\displaystyle (0,1)}$. Shpërndarja standarde e arksinusit është një rast i veçantë i shpërndarjes beta me ${\displaystyle \alpha =\beta =1/2}$. Kjo është, nëse ${\displaystyle X}$ është një ndryshore e rastit me ligj arksinusi, atëherë ${\displaystyle X\sim {\rm {Beta}{\bigl (}{\tfrac {1}{2},{\tfrac {1}{2}{\bigr )}$. Sipas shtrirjes, shpërndarja e arksinusit është një rast i veçantë i shpërndarjes së tipit I të Pearson .

Page Stampa:Infobox probability distribution/styles.css has no content.

Bashkësia e përcaktimi të arksinusit të kufizuar

Parameters	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}$
Support	${\displaystyle x\in [a,b]}$
Unknown type	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}$
CDF	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}\right)}$
Mean	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}$
Median	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}$
Mode	${\displaystyle x\in {a,b}$
Unknown type	${\displaystyle {\tfrac {1}{8}(b-a)^{2}$
Skewness	${\displaystyle 0}$
Excess kurtosis	${\displaystyle -{\tfrac {3}{2}$

Shpërndarja mund të zgjerohet për të përfshirë çdo bashkësi përcaktimi të kufizuar nga ${\displaystyle a\leq x\leq b}$ me një transformim të thjeshtë

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}\right)}$

për një ${\displaystyle a\leq x\leq b}$, dhe funksioni i densitetit probabilitar të të cilit është

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}$

në ${\displaystyle (a,b)}$.

Shpërndarja standarde e përgjithësuar e arksinusit në intervalin ${\displaystyle (0,1)}$ me funksion të densitetit të probabilitetit

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}$

është gjithashtu një rast i veçantë i shpërndarjes beta me parametra ${\displaystyle {\rm {Beta}(1-\alpha ,\alpha )}$ .

• Shpërndarja e arksinusit është e mbyllur nën translatim dhe shkallëzim me një faktor pozitiv
  • Nëse ${\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}(a,b)\ {\text{atëherë }kX+c\sim {\rm {Arcsine}(ak+c,bk+c)}$
• Katrori i një shpërndarjeje arksinusi mbi ${\displaystyle (-1,1)}$ ka shpërndarje arksine mbi ${\displaystyle (0,1)}$
  • Nëse ${\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}(-1,1)\ {\text{atëherë }X^{2}\sim {\rm {Arcsine}(0,1)}$
• Koordinatat e pikave të zgjedhura në mënyrë të njëtrajtshme në një rreth me rreze ${\displaystyle r}$ me qendër në origjinë ${\displaystyle (0,0)}$, kanë një shpërndarje ${\displaystyle {\rm {Arcsine}(-r,r)}$
  • Për shembull, nëse zgjedhim një pikë në mënyrë të njëtrajtshme në perimetër, ${\displaystyle U\sim {\rm {Uniform}(0,2\pi r)}$, marrim shpërndarjen e koordinatave x të pikës është ${\displaystyle r\cdot \cos(U)\sim {\rm {Arcsine}(-r,r)}$, dhe shpërndarja e koordinatave y të saj është ${\textstyle r\cdot \sin(U)\sim {\rm {Arcsine}(-r,r)}$

• Nëse ${\displaystyle U}$ dhe ${\displaystyle V}$ janë ndryshore rasti iid uniforme ${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$, atëherë ${\displaystyle \sin(U)}$, ${\displaystyle \sin(2U)}$, ${\displaystyle -\cos(2U)}$, ${\displaystyle \sin(U+V)}$ dhe ${\displaystyle \sin(U-V)}$ të gjithë kanë një shpërndarje ${\displaystyle {\rm {Arcsine}(-1,1)}$.
• Nëse ${\displaystyle X}$ është shpërndarja e përgjithësuar e arksinusit me parametrin e formës ${\displaystyle \alpha }$ mbështetur në intervalin e fundëm ${\displaystyle [a,b]}$ atëherë ${\displaystyle {\frac {X-a}{b-a}\sim {\rm {Beta}(1-\alpha ,\alpha )\ }$
• Nëse ${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (0,1)}$ atëherë ${\displaystyle {\tfrac {1}{1+X^{2}$ ndjek një shpërndarje standarde arksinusi.

Shpërndarja e arksinusit gjen zbatim në formimin e rrezeve dhe sintezën e modelit. ^[1] Është gjithashtu dendësia klasike e probabilitetit për oshilatorin e thjeshtë harmonik .