Jacobi-identiteten

Jacobi-identiteten, eller Jacobis identitet, innebär inom matematiken att en bilinjär avbildning ${\displaystyle F\colon V\times V\rightarrow V}$ på vektorrummet ${\displaystyle V}$ uppfyller:

${\displaystyle F(F(x,y),z)+F(F(y,z),x)+F(F(z,x),y)=0,\quad \forall x,y,z\in V}$.

Är den bilinjära avbildningen dessutom antisymmetrisk rör det sig om en lieparentes. Viktiga exempel är:

• Kommutatorer för linjära avbildningar: ${\displaystyle [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0.}$^[1]
• Vektorprodukt: ${\displaystyle {\textbf {a}\times ({\textbf {b}\times {\textbf {c})+{\textbf {b}\times ({\textbf {c}\times {\textbf {a})+{\textbf {c}\times ({\textbf {a}\times {\textbf {b})=0}$
• Poissonklamrar: ${\displaystyle \,\{f,\{g,h\}\}+\{h,\{f,g\}\}+\{g,\{h,f\}\}=0}$^[2]

Jacobi-identiteten är uppkallad efter den tyske matematikern Carl Jacobi.

Beviset fås enkelt ur Lagranges formel:

${\displaystyle {\textbf {a}\times ({\textbf {b}\times {\textbf {c})={\textbf {b}({\textbf {a}\cdot {\textbf {c})-{\textbf {c}({\textbf {a}\cdot {\textbf {b})}$

Således:

${\displaystyle {\textbf {a}\times ({\textbf {b}\times {\textbf {c})+{\textbf {b}\times ({\textbf {c}\times {\textbf {a})+{\textbf {c}\times ({\textbf {a}\times {\textbf {b})=}$

${\displaystyle ={\textbf {b}({\textbf {a}\cdot {\textbf {c})-{\textbf {c}({\textbf {a}\cdot {\textbf {b})+{\textbf {c}({\textbf {a}\cdot {\textbf {b})-{\textbf {a}({\textbf {b}\cdot {\textbf {c})+{\textbf {a}({\textbf {b}\cdot {\textbf {c})-{\textbf {b}({\textbf {a}\cdot {\textbf {c})=}$

${\displaystyle =0}$