ஓரியல்புச் சார்பு

வகை நுண்கணிதத்தில்,சார்பு ${\displaystyle f\,}$, ஒரு இடைவெளியில் உள்ள x ≤ y மதிப்புகளுக்கு f(x) ≤ f(y) என இருந்தால் அந்த இடைவெளியில் அது கூடும் சார்பாகும் (increasing function). x ≤ y எனில் f(x) ≥ f(y) ஆக இருந்தால் அது அந்த இடைவெளியில் குறையும் சார்பாகும். (decreasing function) ஒரு இடைவெளி முழுவதிலும் சார்பு கூடும் சார்பாகவோ அல்லது குறையும் சார்பாகவோ இருந்தால் அச்சார்பு அந்த இடைவெளியில் ஓரியல்புச் சார்பு (monotonic function) எனப்படும்.

மெய்யெண் கணத்தின் உட்கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மெய்ச் சார்பு ${\displaystyle f\,}$:

${\displaystyle f\,}$ -ன் ஆட்களத்தின் ஒரு இடைவெளியில் ${\displaystyle \ x\leq y}$ என அமையும் அனைத்து x மற்றும் y களுக்கும் ${\displaystyle \ f(x)\leq f(y)}$ எனில் அந்த இடைவெளியில் ${\displaystyle f\,}$ கூடும் சார்பு. ${\displaystyle f\,}$ வரிசை மாற்றாச் சார்பாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு:

• ${\displaystyle \ f(x)=sinx,}$ இடைவெளி [0, π/2] -ல் கூடும் சார்பு.
• நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் சமவாய்ப்பு மாறி X -ன் திரள் பரவல் சார்பு:

F_X(x) = P(X ≤ x) ஒரு கூடும் சார்பு.

ஒரு இடைவெளியில் ${\displaystyle \ x<y}$ என அமையும் அனைத்து x மற்றும் y களுக்கும் ${\displaystyle \ f(x)<f(y)}$ஆக அமைந்தால் திட்டமாக கூடும் சார்பாகும்.

எடுத்துக்காட்டு: ${\displaystyle \ f(x)=x,}$ ஒரு திட்டமாக கூடும் சார்பு.

${\displaystyle f\,}$ -ன் ஆட்களத்தின் ஒரு இடைவெளியில் ${\displaystyle \ x\leq y}$ என அமையும் அனைத்து x மற்றும் y களுக்கும் ${\displaystyle \ f(x)\geq f(y)}$ ஆக அமைந்தால் ${\displaystyle f\,}$ அந்த இடைவெளியில் ஒரு குறையும் சார்பாகும். ${\displaystyle f\,}$ வரிசை மாற்றும் சார்பாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு: ${\displaystyle \ f(x)=sinx,}$ [π/2, π] -ல் இறங்கும் சார்பு.

ஒரு இடைவெளியில் ${\displaystyle \ x<y}$ என அமையும் அனைத்து x மற்றும் y களுக்கும் ${\displaystyle \ f(x)>f(y)}$ஆக அமைந்தால் திட்டமாக குறையும் சார்பாகும்.

ஒரு இடைவெளி முழுவதிலும் ஒரு சார்பு கூடும் சார்பாகவோ அல்லது குறையும் சார்பாகவோ இருந்தால் அச்சார்பு அந்த இடைவெளியில் ஓரியல்புச் சார்பு ஆகும்.

சார்பு ${\displaystyle f\,}$, (a, b) இடைவெளியில் முழுமையான ஓரியல்புத்தன்மை (absolutely monotonic) கொண்டதாக இருந்தால் அந்த இடைவெளியில் உள்ள அனைத்துப் புள்ளிகளிலும் சார்பின் எல்லா வரிசை வகைக்கெழுக்களும் எதிர்மமாக இல்லாமல் இருக்கும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளி முழுவதும் கூடும் சார்பாகவோ அல்லது குறையும் சார்பாகவோ இல்லாமலிருந்தால் அந்த இடைவெளியில் அச்சார்பு ஓரியல்புத்தன்மையற்றது.

எடுத்துக்காட்டு: f(x) = sinx, இச்சார்பு [0, π/2] இடைவெளியில் கூடும் சார்பு; [π/2, π] இடைவெளியில் குறையும் சார்பு; ஆனால் [0, π] இடைவெளி முழுவதும் கூடும் சார்பாகவோ அல்லது குறையும் சார்பாகவோ இல்லாததால் இந்த இடைவெளியில் ஓரியல்பற்றது.

• Convergence of a Monotonic Sequence by Anik Debnath and Thomas Roxlo (The Harker School), Wolfram Demonstrations Project.
• Definition of a Monotonic function from Wolfram Alpha