Función monótona

En matemáticas, unha función monótona é unha función entre conxuntos ordenados que conserva ou inverte a orde. No primeiro caso, fálase dunha función crecente e no outro de función decrecente. Este concepto apareceu por primeira vez na análise real de funcións numéricas e despois xeneralizouse no marco máis abstracto da teoría da orde.

Intuitivamente (ver as figuras ao lado), a representación gráfica dunha función monótona nun intervalo é unha curva que “sobe» constantemente ou «baixa» constantemente. Se este aspecto gráfico é inmediatamente revelador, non é, porén, a única forma na que se revela a propiedade da monotonía: unha función monótona é unha función que sempre ten o mesmo efecto sobre a relación de orde. Para unha función crecente, a orde que existe entre dúas variábeis atópase na orde das súas imaxes, para unha función decrecente, a orde das imaxes invírtese en comparación coa orde dos antecedentes.

Para unha función con derivada nun intervalo, o estudo da monotonía está ligado ao estudo do signo da derivada, que é constante: sempre positivo ou sempre negativo.

Sexa ${\displaystyle I}$ un intervalo de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle f}$ unha función de valores reais, cuxo dominio de definición contén este intervalo ${\displaystyle I}$.

Monotonía en sentido amplo. Dise que ${\displaystyle f}$ é  :

• crecente (ou: crecente en sentido amplo) sobre ${\displaystyle I}$ se

para todo par ${\displaystyle (x,y)\in I^{2}$ tal que ${\displaystyle x<y}$, temos ${\displaystyle f(x)\leqslant f(y)}$;

• decrecente (ou : decrecente en sentido amplo) sobre ${\displaystyle I}$ se

para todo par ${\displaystyle (x,y)\in I^{2}$ tal que ${\displaystyle x<y}$, temos ${\displaystyle f(x)\geqslant f(y)}$;

• monótona (ou: monótona no sentido amplo) en ${\displaystyle I}$ se é crecente en ${\displaystyle I}$ ou decrecente en ${\displaystyle I}$.

Exemplo: para todo real ${\displaystyle x}$, denotado ${\displaystyle E(x)}$ a parte enteira de ${\displaystyle x}$ (é o único enteiro relativo ${\displaystyle k}$ tal que ${\displaystyle k\leqslant x<k+1}$). A función ${\displaystyle E:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ vai crecendo en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ pero non é estritamente crecente (ver máis abaixo), porque é constante en cada intervalo ${\displaystyle [i,i+1[}$ de extremos enteiros.

Estritamente monótona. Dise que ${\displaystyle f}$ é:

• estritamente crecente en ${\displaystyle I}$ se

para todo par ${\displaystyle (x,y)\in I^{2}$ tal que ${\displaystyle x<y}$, temos ${\displaystyle f(x)<f(y)}$;

• estritamente decrecente en ${\displaystyle I}$ se

para todo par ${\displaystyle (x,y)\in I^{2}$ tal que ${\displaystyle x<y}$, temos ${\displaystyle f(x)>f(y)}$;

• estritamente monótona sobre ${\displaystyle I}$ se é estritamente crecente en ${\displaystyle I}$ ou estritamente decrecente en ${\displaystyle I}$.

Exemplos : sexa ${\displaystyle n}$ un enteiro estritamente positivo.

• A función ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} :x\mapsto x^{n}$, é estritamente crecente en ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}$ .
  En efecto, se ${\displaystyle a,b,a'}$ e ${\displaystyle b'}$ son números reais tal que ${\displaystyle 0\leqslant a<b}$ e ${\displaystyle 0\leqslant a'<b'}$, entón ${\displaystyle aa'<bb'}$. Deducimos por indución sobre o número enteiro ${\displaystyle n}$ que para calquera parella ${\displaystyle (x,y)}$ de positivos reais ou ceros tal que ${\displaystyle x<y}$, temos ${\displaystyle x^{n}<y^{n}$.
• Cando ${\displaystyle n}$ é impar, a función ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto x^{n}$, é estritamente crecente en ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• De feito, é estritamente crecente en ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}$ (ver o exemplo anterior) e impar.

Nota 1: para que unha función ${\displaystyle f}$ sexa crecente (respectivamente estritamente crecente) en ${\displaystyle I}$, é necesario e suficiente que ${\displaystyle -f}$ sexa decrecente (resp. estritamente decrecente) en ${\displaystyle I}$.

Nota 2 : para que unha función monótona ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ non o sexa estritamente, é necesario (e desde logo é suficiente) que ${\displaystyle I}$ conteña un intervalo non trivial (é dicir, non baleiro e non reducido a un punto) no que ${\displaystyle f}$ é constante.

Sexan dúas funcións crecentes ${\displaystyle I}$. Temos:

• a súa suma é crecente;
• se teñen valores positivos, o seu produto é crecente.

Existe a propiedade análoga para funcións estritamente crecentes.

Sexan dúas funcións ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle g:J\to \mathbb {R} }$, onde ${\displaystyle I}$ e ${\displaystyle J}$ son dous intervalos reais tal que ${\displaystyle f(I)\subset J}$; podemos definir a función composta ${\displaystyle g\circ f:I\to \mathbb {R} }$.

Se ${\displaystyle f}$ é monótona en ${\displaystyle I}$ e ${\displaystyle g}$ é monótona en ${\displaystyle J}$, daquela ${\displaystyle g\circ f}$ é monótona en ${\displaystyle I}$. Máis precisamente :

• se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ ambos as dúas son crecentes ou decrecentes, entón ${\displaystyle g\circ f}$ é crecente;
• se unha das dúas funcións ${\displaystyle f}$ ou ${\displaystyle g}$ é crecente e a outra decrecente, entón ${\displaystyle g\circ f}$ é decrecente.

Exste a propiedade análoga para as funcións estritamente monótonas.

Unha función estritamente monótona nun intervalo ${\displaystyle I}$ é inxectiva, é dicir que dous elementos de ${\displaystyle I}$ distintos teñen imaxes distintas.

Esta propiedade, combinada co teorema do valor intermedio, é útil para atopar o número de ceros nunha función.

Sexa ${\displaystyle ]a,b[}$ un intervalo aberto (limitado ou non) e unha función crecente ${\displaystyle f:]a,b[\to \mathbb {R} }$ . Así:

• ${\displaystyle f}$ admite en todos os puntos ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle ]a,b[}$ un límite pola esquerda e un límite pola dereita, finitos, que denotamos respectivamente^[1] ${\displaystyle f(x^{-})}$ e ${\displaystyle f(x^{+})}$; verifican a dobre desigualdade ${\displaystyle f(x^{-})\leqslant f(x)\leqslant f(x^{+})}$;
• ${\displaystyle f}$ admite un límite pola esquerda ${\displaystyle b}$, finito ou igual a ${\displaystyle +\infty }$; este límite é finito se e só se ${\displaystyle f}$ é maior.
• ${\displaystyle f}$ admite un límite pola dereita en ${\displaystyle a}$, finito ou igual a ${\displaystyle -\infty }$; este límite é finito se e só se ${\displaystyle f}$ é menor.

Un teorema análogo para funcións decrecentes dedúcese inmediatamente substituíndo ${\displaystyle f}$ por ${\displaystyle -f}$.

Un corolario deste teorema é a continuidade de calquera sobrexección monótona dun intervalo sobre un intervalo.

Teorema de Froda (1929): o conxunto ${\displaystyle D}$ de puntos de descontinuidade dunha función monótona é finito ou numerábel (dicimos que é numerábel como máximo ). Efectivamente, denotando ${\displaystyle \varepsilon _{x}=f(x^{+})-f(x^{-})}$, a familia ${\displaystyle \left(\varepsilon _{x}\right)_{x\in D\cap [c,d]}$ de reais estritamente positivos é sumábel e, polo tanto, como moito numerábel para todos os ${\displaystyle [c,d]}$ incluídos no intervalo de monotonía. Froda demostrou de feito que para calquera función real, o conxunto de puntos de descontinuidade do primeiro tipo é como moito numerábel. Ou para unha función monótona, o teorema do límite monótono di exactamente que este tipo de descontinuidade é a única posíbel.

Un uso clásico e importante do cálculo diferencial é a caracterización, entre as funcións diferenciábeis (dunha variábel real, e con valores reais), das que son monótonas (en sentido amplo ou en sentido estrito) nun intervalo.

Teorema:

Observacións

• Dedúcese que unha condición suficiente para que unha función derivábel ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ sexa estritamente crecente en ${\displaystyle I}$ é que para todo ${\displaystyle x\in I,f'(x)>0}$. Pero esta condición non é de ningún xeito necesaria, como mostra o enunciado do teorema e os dous exemplos seguintes.
• Este teorema xeneralízase a funcións continuas nun intervalo mais derivábeis só no complemento dun subconxunto numerábel: cf. Teorema do valor medio.

Exemplo 1

A función ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto x^{3}$, é estritamente crecente en ${\displaystyle \mathbb {R} }$. O criterio anterior permítenos volver demostralo:

• é derivábel, e para todo real ${\displaystyle x,f'(x)=3x^{2}$;
• a maiores, o conxunto de puntos onde desaparece a súa derivada é ${\displaystyle \{0\}$; é de interior baleiro.

Exemplo 2

A función ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto \cos x+x}$, é estritamente crecente en ${\displaystyle \mathbb {R} }$. De feito:

• é derivábel, e para calquera real ${\displaystyle x,\;f'(x)=1-\sin x\geqslant 0}$;
• a maiores, o conxunto de puntos onde desaparece a súa derivada é ${\displaystyle \left({\dfrac {\pi }{2}\right)+2\pi \mathbb {Z} =\left\{x\in \mathbb {R} \mid \exists k\in \mathbb {Z} ,x=\left({\dfrac {\pi }{2}\right)+2k\pi \right\}$, que é internamente baleiro (mesmo é contábel).

Exemplo 3

A función ${\displaystyle f:[-1,1]\to \mathbb {R} :x\mapsto \arccos x+\arcsin x}$ é constante. En efecto, as derivadas de ${\displaystyle \arccos }$ e ${\displaystyle \arcsin }$, definidas en ${\displaystyle ]-1,1[}$, son opostas entre si e en ${\displaystyle ]-1,1[,f'}$ é cero e ${\displaystyle f}$ é constante. Así, para todo ${\displaystyle x}$ En ${\displaystyle ]-1,1[}$ (e mesmo en ${\displaystyle [-1,1]}$, por continuidade), ${\displaystyle f(x)=f(0)={\dfrac {\pi }{2}$ .

Unha aplicación ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ entre dous espazos topolóxicos dise que é monótona se cada unha das súas fibras é conexa, é dicir que para todos os ${\displaystyle y}$ en ${\displaystyle Y}$ o conxunto ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ (que pode estar baleiro) é conexo.

En análise funcional, un operador ${\displaystyle T:X\rightarrow X^{*}$ nun espazo vectorial topolóxico ${\displaystyle X}$ (que pode ser non linear) chámase operador monótono se

${\displaystyle (Tu-Tv,u-v)\geq 0\quad \forall u,v\in X.}$

O teorema de Kachurovskii  mostra que as derivadas das funcións convexas nos espazos de Banach son operadores monótonos.

A teoría da orde trata de conxuntos parcialmente ordenados e conxuntos preordenados en xeral, ademais dos intervalos reais. A definición anterior de monotonía tamén é relevante nestes casos. Por exemplo, considere unha aplicación ${\displaystyle f}$ dun conxunto ordenado ${\displaystyle (A,\leqslant _{A})}$ nun conxunto ordenado ${\displaystyle (B,\leqslant _{B})}$.

• ${\displaystyle f}$ chámase aplicación crecente (respectivamente, aplicación estritamente crecente) se conserva a orde (respectivamente, a orde estritamente), é dicir, se dous elementos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle A}$ verifican ${\displaystyle x\leqslant _{A}y}$ (resp. ${\displaystyle x<_{A}y}$ ), e as súas respectivas imaxes por ${\displaystyle f}$ verifican ${\displaystyle f(x)\leqslant _{B}f(y)}$ (respectivamente, ${\displaystyle f(x)<_{B}f(y)}$ ).
• ${\displaystyle f}$ chámase aplicación decrecente (resp. aplicación estritamente decrecente ) se inverte a orde (resp. a orde estritamente), é dicir, se dous elementos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle A}$ verifican ${\displaystyle x\leqslant _{A}y}$ (resp. ${\displaystyle x<_{A}y}$ ), e as súas respectivas imaxes por ${\displaystyle f}$ verifican ${\displaystyle f(x)\geqslant _{B}f(y)}$ (resp. ${\displaystyle f(x)>_{B}f(y)}$ )

As aplicacións monótonas son fundamentais na teoría da orde. Algunhas aplicacións monótonas notábeis son os mergullos de ordes (aplicacións para as que ${\displaystyle x\leqslant y}$ se e só se ${\displaystyle f(x)\leqslant f(y)}$ e os isomorfismos de orde (os mergullos de orde que son sobrexectivos).

• Operador monótono.