பிழிவுத் தேற்றம்

நுண்கணிதத்தில் பிழிவுத் தேற்றம் (squeeze theorem) என்பது சார்பின் எல்லை குறித்த தேற்றமாகும். இத்தேற்றம் நுண்கணிதத்திலும் பகுவியலிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இத்தேற்றத்தில், எல்லைமதிப்புகள் அறியப்பட்ட அல்லது எளிதில் கணக்கிடக்கூடிய இரு சார்புகளுடன் ஒப்பிட்டுத் தேவையான சார்பின் எல்லை கண்டுபிடிக்கப்படுகிறது. π இன் மதிப்பைக் கணக்கிடும்போது இத்தேற்றமானது வடிவவியலாகக் கணிதவியலாளர்கள் ஆர்க்கிமிடீசு மற்றும் யூடாக்சசால் பயன்படுத்தப்பட்டது. இதன் தற்கால வடிவமானது கணிதவியலாளர் காசால் வடிவமைக்கப்பட்டது.

பிழிவுத் தேற்றம் முறையாகப் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.^[1]

a ஐ எல்லைப் புள்ளியாகக் கொண்ட இடைவெளி I. இந்த இடைவெளியின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மூன்று சார்புகள் g, f, h ( a புள்ளியைத் தவிர்த்தும் வரையறுக்கப்படலாம்).

I இடைவெளியில் a க்குச் சமமில்லாத ஒவ்வொரு x க்கும்

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.}$ எனில்:

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L.}$

• ${\textstyle g}$ , ${\textstyle h}$ ஆகிய இரு சார்புகளும் முறையே ${\textstyle f}$ இன் கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகளென அழைக்கப்படுகின்றன.
• ${\textstyle a}$ ஆனது ${\textstyle I}$ இடைவெளியின் உட்புறப் புள்ளியாகத்தான் இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை. ${\textstyle I}$ இடைவெளியின் ஓரப்புள்ளியாக (இட/வலது ஓரப்புள்ளி) ${\textstyle a}$ இருக்குமானால் மேலுள்ள எல்லைகள் இடக்கை/வலக்கை எல்லைகளெனப்படுகின்றன.
• முடிவிலா இடைவெளிகளுக்கும் இத்தேற்றத்தின் கூற்று உண்மையாக இருக்கும்:

${\textstyle I=(0,\infty )}$ எனில், ${\textstyle x\rightarrow \infty }$ என எடுத்துக்கொண்டு தேற்றத்தின் கூற்று அமைகிறது.

இத்தேற்றம் தொடர்வரிசைகளுக்கும் பொருந்தும்:

${\displaystyle (a_{n}),(c_{n})}$ என்ற இரு தொடர்வரிசைகளும் ${\displaystyle \ell }$ க்கு ஒருங்கும் தொடர்வரிசைகள்; ${\displaystyle (b_{n})}$ மற்றொரு தொடர்வரிசை என்றால் இத்தேற்றத்தின்படி:

${\displaystyle \forall n\geqslant N,N\in \mathbb {N} }$ மற்றும் ${\displaystyle a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$ எனில் ${\displaystyle (b_{n})}$ தொடர்வரிசையும் ${\displaystyle \ell }$ க்கு ஒருங்கும்.

உயர் மற்றும் தாழ் எல்லைகளை எடுத்துக்கொள்ள:

${\displaystyle L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,}$

இத்தேற்றத்தை நிறுவ, ${\textstyle \epsilon >0}$ என்ற அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் ${\displaystyle |x-a|<\delta }$ (${\displaystyle x}$ இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும்) எனில் ${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$ என இருக்கக்கூடியவாறு ${\displaystyle \delta >0}$ என்றவொரு மெய்யெண் இருக்கும் என்பதை நிறுவ வேண்டும்.

இதனையே குறியீட்டில்

${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,|x-a|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon .}$ எனலாம்.

சார்பு எல்லையின் வரையறைப்படி,

${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=L}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L}$ ஆகிய இரு முடிவுகளிலிருந்து பெறப்படுபவை:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{1}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{1}\ \Rightarrow \ |g(x)-L|<\varepsilon ).\qquad (1)}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{2}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{2}\ \Rightarrow \ |h(x)-L|<\varepsilon ),\qquad (2)}$

மேலும் ${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$. எனவே

${\displaystyle g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L}$

${\displaystyle \delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}$ எனத் தேர்வு செய்து கொள்ளலாம். இப்போது முடிவுகள் (1) , (2) இரண்டையும் பயன்படுத்திப் பெறப்படுவது:

${\displaystyle |x-a|<\delta }$ எனில்,

${\displaystyle -\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,}$

${\displaystyle -\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon }$,

எனவே தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. ${\displaystyle \blacksquare }$

${\displaystyle \sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}$ இரண்டும் ஒருங்கும் தொடர்கள். மேலும் ${\displaystyle \forall n>N,a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$ என்றவாறு ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} }$ எனில், ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}$ தொடரும் ஒருங்கும் தொடராக இருக்கும்.

${\displaystyle \sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}$ இரண்டும் ஒருங்கு தொடர்கள் என்பதால் ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n=1}^{\infty },\left(\sum _{k=1}^{n}c_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$ ஆகிய இரண்டும் கோசித் தொடர்களாக இருக்கும்.

இவை கோசித் தொடர்களாக இருப்பதனால் பின்வரும் இரு முடிவுகள் கிடைக்கின்றன:

${\displaystyle \epsilon >0}$ எனில்,

${\displaystyle \exists N_{1}\in \mathbb {N} }$ such that ${\displaystyle \forall n>m>N_{1},\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}<\epsilon }$ (1)

${\displaystyle \exists N_{2}\in \mathbb {N} }$ such that ${\displaystyle \forall n>m>N_{2},\left|\sum _{k=1}^{n}c_{k}-\sum _{k=1}^{m}c_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}c_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}c_{k}<\epsilon }$ (2).

மேலும் தேற்றத் தரவின்படி,

${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \forall n>N,a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$ என்பதால்:

${\displaystyle \exists N_{3}\in \mathbb {N} }$ such that ${\displaystyle \forall n>N_{3},a_{k}\leqslant b_{k}\leqslant c_{k}$ (3).

${\displaystyle \forall n>m>\max\{N_{1},N_{2},N_{3}\}$ என எடுத்துக்கொண்டு (1) , (2) முடிவுகளை இணைக்கக் கிடைப்பது:

${\displaystyle a_{k}\leqslant b_{k}\leqslant c_{k}\Longrightarrow \sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\leqslant \sum _{k=m+1}^{n}b_{k}\leqslant \sum _{k=m+1}^{n}c_{k}\Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}b_{k}<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}b_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=1}^{n}b_{k}-\sum _{k=1}^{m}b_{k}\right|<\epsilon }$.

இதிலிருந்து ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$ தொடரும் ஒரு கோசி தொடராக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}$ ஒருங்கும் தொடராகும்.

எனவே தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. ${\displaystyle \blacksquare }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x})}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\sin({\tfrac {1}{x})}$ - இந்த எல்லைக்கு மதிப்பு கிடையாது என்பதால் எல்லைகளின பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி (${\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),}$) எடுத்துக்காட்டில் தரப்பட்டுள்ள சார்பின் எல்லையைக் காண முடியாது. எனவே பிழிவுத் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சைன் சார்பின் வரையறைப்படி,

${\displaystyle -1\leq \sin({\tfrac {1}{x})\leq 1.}$

${\displaystyle \implies -x^{2}\leq x^{2}\sin({\tfrac {1}{x})\leq x^{2}$

ஆனால் ${\displaystyle \lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0}$

எனவே பிழிவுத் தேற்றத்தின்படி,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x})=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}=1}$

x இன் மதிப்பு 0 க்கு நெருக்கமாக இருக்கும்போது கீழுள்ள சமனிலி உண்மையாக இருக்கும்.

${\displaystyle \cos x\leq {\frac {\sin(x)}{x}\leq 1}$ ^[2] அருகிலுள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளதைக் கொண்டு இச்சமனிலி x இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு உண்மையென்பதை எளிதாக வடிவவியல் முறையில் விளக்கலாம். அத்தோடு சமனிலியை x இன் எதிர்ம மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\cos x\leq \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}\leq \lim _{x\to 0}1}$

மேலும் ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\cos(x)=1}$ என்பதால்,

${\displaystyle 1\leq \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}\leq 1}$

${\displaystyle \implies \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}=1}$

1. ↑ Sohrab, Houshang H. (2003). Basic Real Analysis (2nd ed.). Birkhäuser. p. 104. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1-4939-1840-9.
2. ↑ Selim G. Krejn, V.N. Uschakowa: Vorstufe zur höheren Mathematik. Springer, 2013, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9783322986283, pp. 80-81 (German). See also Sal Khan: Proof: limit of (sin x)/x at x=0 (video, கான் அகாதமி)

• Weisstein, Eric W., "Squeezing Theorem", MathWorld.
• Squeeze Theorem by Bruce Atwood (Beloit College) after work by, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), the Wolfram Demonstrations Project.
• Squeeze Theorem on ProofWiki.