Grafico della funzione x 2 sin ( x − 1 ) {\displaystyle x^{2}\sin \left(x^{-1}\right)} , che illustra il teorema Il teorema del confronto è un teorema di analisi matematica . Assume forme diverse a seconda del contesto, e permette di calcolare il limite di una successione o funzione confrontando questa con altri due oggetti analoghi che "si stringono sempre di più" intorno a quello dato.
È informalmente chiamato teorema dei due carabinieri , per un'allegoria : il teorema sarebbe rappresentato da due carabinieri (due funzioni o successioni a , c {\displaystyle a,c} che si stringono sempre di più) che conducono in arresto un prigioniero (una funzione o successione b {\displaystyle b} ): questo "tende" sicuramente allo stesso punto dove tendono i carabinieri (il limite comune di a {\displaystyle a} e c {\displaystyle c} ). Sulla base di considerazioni simili, il teorema è talvolta detto anche teorema del sandwich o teorema di compressione .
Successioni Il teorema del confronto per le successioni asserisce che se { a n } , { b n } {\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\} e { c n } {\displaystyle \{c_{n}\} sono tre successioni di numeri reali tali che definitivamente (cioè per n {\displaystyle n} sufficientemente grande )
a n ≤ b n ≤ c n {\displaystyle a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n} e se si ha
lim n → + ∞ a n = lim n → + ∞ c n = l , {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=\lim _{n\to +\infty }c_{n}=l,} allora anche
lim n → + ∞ b n = l . {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=l.}
Dimostrazione Dalla definizione di limite di una successione , si ricava che per ogni ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} esistono N , N ′ {\displaystyle N,N'} tali che:
l − ε < a n < l + ε , ∀ n > N , {\displaystyle l-\varepsilon <a_{n}<l+\varepsilon ,\qquad \forall n>N,} l − ε < c n < l + ε , ∀ n > N ′ . {\displaystyle l-\varepsilon <c_{n}<l+\varepsilon ,\qquad \forall n>N'.} Quindi per ogni n {\displaystyle n} maggiore di M = max { N , N ′ } {\displaystyle M=\max\{N,N'\} si ottiene:
l − ε < a n ≤ b n ≤ c n < l + ε . {\displaystyle l-\varepsilon <a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}<l+\varepsilon .} Quindi per ogni ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} esiste un M {\displaystyle M} tale che:
l − ε < b n < l + ε , ∀ n > M . {\displaystyle l-\varepsilon <b_{n}<l+\varepsilon ,\qquad \forall n>M.} In altre parole, la successione b n {\displaystyle b_{n} tende a l {\displaystyle l} .
Esempi La successione:
b n = sin n cos n n 2 {\displaystyle b_{n}={\sin n\cos n \over n^{2} è "stretta" fra le successioni:
a n = − 1 n 2 , c n = 1 n 2 {\displaystyle a_{n}=-{\frac {1}{n^{2},\qquad \ c_{n}={\frac {1}{n^{2} poiché
− 1 ≤ sin n cos n ≤ 1 {\displaystyle -1\leq \sin n\cos n\leq 1} implica
− 1 n 2 ≤ sin n cos n n 2 ≤ 1 n 2 , {\displaystyle -{\frac {1}{n^{2}\leq {\sin n\cos n \over n^{2}\leq {\frac {1}{n^{2},} per ogni n {\displaystyle n} . Entrambe a n {\displaystyle a_{n} e c n {\displaystyle c_{n} sono infinitesime (convergono cioè a zero), e quindi per il teorema del confronto anche b n {\displaystyle b_{n} è infinitesima.
Corollario Teoremi di confronto si possono applicare anche per i limiti infiniti. Se { a n } , { b n } {\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\} sono due successioni tali che:
a n ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq b_{n} per ogni n {\displaystyle n} , e se
lim n → + ∞ a n = + ∞ , {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=+\infty ,} allora anche
lim n → + ∞ b n = + ∞ . {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=+\infty .} Oppure se
a n ≤ b n , {\displaystyle a_{n}\leq b_{n},} per ogni n {\displaystyle n} , e se
lim n → + ∞ b n = − ∞ , {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=-\infty ,} allora anche
lim n → + ∞ a n = − ∞ . {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=-\infty .}
Dimostrazione Corollario Per ipotesi lim n → + ∞ a n = + ∞ {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=+\infty } e pertanto, dalla definizione di limite di una successione , per ogni M > 0 {\displaystyle M>0} esiste un numero naturale N {\displaystyle N} tale che a n > M {\displaystyle a_{n}>M} per ogni n > N {\displaystyle n>N} .
Dato che b n ≥ a n {\displaystyle b_{n}\geq a_{n} per ogni n {\displaystyle n} si ottiene che:
b n ≥ a n > M . {\displaystyle b_{n}\geq a_{n}>M.} Quindi:
lim n → + ∞ b n = + ∞ . {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=+\infty .}
Funzioni Il teorema del confronto per le funzioni asserisce che, date tre funzioni f , g , h : X → R {\displaystyle f,g,h\colon X\to \mathbb {R} } definite su un dominio X {\displaystyle X} di R {\displaystyle \mathbb {R} } , e dato un punto di accumulazione x 0 {\displaystyle x_{0} per X {\displaystyle X} , se:
lim x → x 0 f ( x ) = lim x → x 0 h ( x ) = l {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}f(x)=\lim _{x\to x_{0}h(x)=l} ed esiste un intorno U {\displaystyle U} di x 0 {\displaystyle x_{0} tale che
f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) , ∀ x ∈ U ∩ X ∖ { x 0 } , {\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x),\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\},} allora
lim x → x 0 g ( x ) = l . {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}g(x)=l.}
Dimostrazione Per la definizione di limite, per ogni ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} esistono due intorni U 1 {\displaystyle U_{1} e U 2 {\displaystyle U_{2} di x 0 {\displaystyle x_{0} tali che:
l − ε < f ( x ) < l + ε ∀ x ∈ U 1 ∖ { x 0 } , {\displaystyle l-\varepsilon <f(x)<l+\varepsilon \quad \forall x\in U_{1}\setminus \{x_{0}\},} l − ε < h ( x ) < l + ε ∀ x ∈ U 2 ∖ { x 0 } . {\displaystyle l-\varepsilon <h(x)<l+\varepsilon \quad \forall x\in U_{2}\setminus \{x_{0}\}.} Quindi
l − ε < f ( x ) ⩽ g ( x ) ⩽ h ( x ) < l + ε , ∀ x ∈ U 1 ∩ U 2 ∩ U ∖ { x 0 } . {\displaystyle l-\varepsilon <f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)<l+\varepsilon ,\quad \forall x\in U_{1}\cap U_{2}\cap U\setminus \{x_{0}\}.} Quindi per ogni ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} esiste un intorno U 1 ∩ U 2 ∩ U {\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap U} tale che
l − ε < g ( x ) < l + ε , ∀ x ∈ U 1 ∩ U 2 ∩ U ∖ { x 0 } . {\displaystyle l-\varepsilon <g(x)<l+\varepsilon ,\quad \forall x\in U_{1}\cap U_{2}\cap U\setminus \{x_{0}\}.} In altre parole:
lim x → x 0 g ( x ) = l . {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}g(x)=l.}
Esempio Dimostrazione geometrica del limite con il teorema del confronto Un'applicazione importante di questo teorema è la verifica del limite:
lim x → 0 sin x x = 1. {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}=1.} Si prenda come riferimento l'immagine a destra. Sia 0 < x < π / 2 {\displaystyle 0<x<\pi /2} la misura in radianti dell'arco di circonferenza di centro O e raggio unitario.
Allora
P H ¯ = sin x , Q A ¯ = tan x {\displaystyle {\overline {PH}=\sin x,\qquad {\overline {QA}=\tan x} Ne segue che
sin x < x < tan x , {\displaystyle \sin x<x<\tan x,} da cui, dividendo per sin x {\displaystyle \sin x}
1 < x sin x < 1 cos x {\displaystyle 1<{\frac {x}{\sin x}<{\frac {1}{\cos x} prendendo i reciproci
cos x < sin x x < 1 {\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}<1} sapendo che la disuguaglianza non cambia per − x {\displaystyle -x} e che
lim x → 0 cos x = 1 , {\displaystyle \lim _{x\to 0}\cos x=1,} sfruttando il teorema del confronto si ottiene:
lim x → 0 sin x x = 1. {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}=1.}
Bibliografia G. C. Barozzi, Primo corso di analisi matematica , Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 88-080-1169-0 . (EN ) Stewart, James (2008). Multivariable Calculus (6th ed.). pp. 909–910. ISBN 0495011630 .
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