การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน

บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ
แคลคูลัส
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
ทฤษฎีบทมูลฐาน ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่อง ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ทฤษฎีบทของโรลล์
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิยาม อนุพันธ์ (ภาพรวม) ผลต่างอนุพัทธ์ กณิกนันต์ ผลต่างอนุพัทธ์ของฟังก์ชัน ผลต่างอนุพัทธ์รวม แนวคิด สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสอง อนุพันธ์อันดับสาม การเปลี่ยนตัวแปร การหาอนุพันธ์โดยปริยาย อัตราสัมพัทธ์ ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ กฎและเอกลักษณ์ กฎผลรวม กฎผลคูณ กฎลูกโซ่ กฎเลขยกกำลัง กฎผลหาร กฎของโลปีตาล กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป สูตรของฟาดีบรูโน
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ รายชื่อปริพันธ์ นิยาม ปฏิยานุพันธ์ ปริพันธ์ (ไม่ตรงแบบ) ปริพันธ์รีมันน์ ปริพันธ์เลอเบก ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ การหาปริพันธ์ ทีละส่วน จาน แบบเปลือกทรงกระบอก แทนค่า (แทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ) แยกเป็นเศษส่วนย่อย Order สูตรลดทอน
อนุกรม อนุกรมเรขาคณิต (ลำดับเลขคณิต–เรขาคณิต) อนุกรมฮาร์มอนิก อนุกรมสลับ อนุกรมกำลัง อนุกรมทวินาม อนุกรมเทย์เลอร์ การทดสอบการลู่เข้า ลิมิตของส่วนของผลบวก (การทดสอบด้วยพจน์) อัตราส่วน ราก ปริพันธ์ เปรียบเทียบโดยตรง เปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต อนุกรมสลับ การควบแน่นโคชี ดิริชเลต์ อาเบล
แคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์ ไดเวอร์เจนซ์ เคิร์ล Laplacian Directional derivative Identities ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ ทฤษฎีบทเกรเดียนต์ ทฤษฎีบทของกรีน ทฤษฎีบทเคลวิน–สโตกส์
แคลคูลัสหลายตัวแปร Formalisms แคลคูลัสเมทริกซ์ แคลคูลัสเทนเซอร์ ภายนอก แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต นิยาม อนุพันธ์ย่อย ปริพันธ์หลายชั้น ปริพันธ์ตามเส้น ปริพันธ์เชิงพื้นผิว ปริพันธ์เชิงปริมาตร จาโคเบียน เมทริกซ์แบบเฮสเซอ
พิเศษ แคลคูลัสเชิงเศษส่วน มาลียาแว็ง แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม แคลคูลัสของการแปรผัน
ด ค ก

ในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน เป็นวิธีการที่ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ใช้เมื่อนิพจน์ที่มีตัวแปรเสริมเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งโดยปกติอยู่ในรูปของเลขยกกำลังของฟังก์ชันเบื้องต้น หรือผลคูณของฟังก์ชันอดิศัย และพหุนามที่มีดีกรีใด ๆ ไม่สามารถหาปริพันธ์โดยตรงได้ แต่การใช้วิธีการหาปริพันธ์อื่น ๆ สามารถกำหนดสูตรลดทอนเพื่อให้ได้ปริพันธ์ของนิพจน์เดียวกันหรือคล้ายกันที่มีตัวแปรจำนวนเต็มเสริมที่ต่ำลง โดยจะลดความซับซ้อนของปริพันธ์ลงทีละน้อยจนกระทั่งสามารถหาค่าได้ ^[1] วิธีหาปริพันธ์นี้เป็นหนึ่งในวิธีแรก ๆ ที่ใช้กัน

สูตรลดทอนสามารถหาได้โดยใช้วิธีการหาปริพันธ์ทั่วไป เช่นการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ การหาปริพันธ์โดยการหาเศษส่วนย่อย ฯลฯ แนวคิดหลักคือให้ปริพันธ์ที่มีตัวแปรเสริมจำนวนเต็ม (เช่น เลขยกกำลัง) ของฟังก์ชันเป็น I_n ปริพันธ์ที่มีกับค่าตัวแปรเสริมที่ต่ำลง (เลขยกกำลังต่ำกว่า) ของฟังก์ชันนั้นให้เป็น เช่น I_{n -1} หรือ I_{n -2} ซึ่งทำให้สูตรลดทอนเป็นประเภทหนึ่งของความสัมพันธ์เวียนเกิด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สูตรลดทอนจะทำให้ปริพันธ์

${\displaystyle I_{n}=\int f(x,n)\,{\text{d}x,}$

อยู่ในรูปของ

${\displaystyle I_{k}=\int f(x,k)\,{\text{d}x,}$

เมื่อ

${\displaystyle k<n.}$

ในการคำนวณหาปริพันธ์ เราให้ n เป็นค่าของตัวแปรเสริม และใช้สูตรลดทอนเพื่อแสดงอยู่ในรูปของปริพันธ์ของ (n – 1) หรือ (n – 2) ปริพันธ์ที่มีเลขยกกำลังต่ำกว่าสามารถนำมาใช้คำนวณปริพันธ์เลขยกกำลังสูงกว่าได้ โดยกระบวนการนี้ทำต่อไปซ้ำ ๆ จนกว่าจะถึงจุดที่สามารถหาปริพันธ์ฟังก์ชันได้ โดยปกติเมื่อเลขยกกำลังของฟังก์ชันดังกล่าวเป็น 0 หรือ 1 จากนั้นเราทำการแทนค่าผลลัพธ์ก่อนหน้านั้นอีกครั้งจนกระทั่งเราหา I_n ได้^[2]

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของวิธีการใช้สูตรลดทอน

โดยทั่วไปปริพันธ์เช่น

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}x,\,\!}$

สามารถหาค่าได้โดยการใช้สูตรลดทอน

เริ่มต้นโดยการตั้งให้

${\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}x\,{\text{d}x.\,\!}$

สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

${\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\cos x\,{\text{d}x,\,\!}$

หาปริพันธ์โดยการแทนค่าดังนี้

${\displaystyle \cos x\,{\text{d}x={\text{d}(\sin x),\,\!}$

${\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}(\sin x).\!}$

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{n}x\,{\text{d}x&=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}(\sin x)\!=\cos ^{n-1}x\sin x-\int \sin x\,{\text{d}(\cos ^{n-1}x)\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x\cos ^{n-2}x\sin x\,{\text{d}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^{2}x\,{\text{d}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x(1-\cos ^{2}x)\,{\text{d}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}x-(n-1)\int \cos ^{n}x\,{\text{d}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n},\end{aligned}\,}$

${\displaystyle I_{n}\ +(n-1)I_{n}\ =\cos ^{n-1}x\sin x\ +\ (n-1)I_{n-2},\,}$

${\displaystyle nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin x\ +(n-1)I_{n-2},\,}$

${\displaystyle I_{n}\ ={\frac {1}{n}\cos ^{n-1}x\sin x\ +{\frac {n-1}{n}I_{n-2},\,}$

ดังนั้นสูตรลดทอนคือ

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}x\ ={\frac {1}{n}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}x.\!}$

ตัวอย่างเพิ่มเติมจากตัวอย่างด้านบนสามารถนำมาใช้หาปริพันธ์สมมติให้ n = 5

${\displaystyle I_{5}=\int \cos ^{5}x\,{\text{d}x.\,\!}$

คำนวนหาปริพันธ์ที่มีเลขดัชนีต่ำกว่า

${\displaystyle n=5,\quad I_{5}={\tfrac {1}{5}\cos ^{4}x\sin x+{\tfrac {4}{5}I_{3},\,}$

${\displaystyle n=3,\quad I_{3}={\tfrac {1}{3}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}I_{1},\,}$

แทนค่ากลับได้

${\displaystyle \because I_{1}\ =\int \cos x\,{\text{d}x=\sin x+C_{1},\,}$

${\displaystyle \therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}\sin x+C_{2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}C_{1},\,}$

${\displaystyle I_{5}\ ={\frac {1}{5}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}\left[{\frac {1}{3}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}\sin x\right]+C,\,}$

โดยที่ C เป็นค่าคงที่

ตัวอย่างทั่วไปอีกอันคือ

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}x.\,\!}$

เริ่มโดยการตั้งให้

${\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}x.\,\!}$

หาปริพันธ์โดยการแทนค่า

${\displaystyle x^{n}\,{\text{d}x={\frac {\text{d}(x^{n+1})}{n+1},\,\!}$

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{n+1}\int e^{ax}\,{\text{d}(x^{n+1}),\!}$

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

${\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{ax}\,{\text{d}(x^{n+1})&=x^{n+1}e^{ax}-\int x^{n+1}\,{\text{d}(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1}e^{ax}\,{\text{d}x,\end{aligned}\!}$

${\displaystyle (n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1},\!}$

เลื่อนดัชนีกลับไป 1 (n + 1 → n และ n → n – 1)

${\displaystyle nI_{n-1}=x^{n}e^{ax}-aI_{n},\!}$

แก้หา I_n

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}$

ดังนั้นสูตรลดทอนคือ

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}x={\frac {1}{a}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}x\right).\!}$

วิธีทางเลือกอื่นในการหาสูตรลดทอนทำได้โดยเริ่มจากการแทนค่า ${\displaystyle e^{ax}$

หาปริพันธ์โดยการแทนค่า

${\displaystyle e^{ax}\,{\text{d}x={\frac {\text{d}(e^{ax})}{a},\,\!}$

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}\int x^{n}\,{\text{d}(e^{ax}),\!}$

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}x,\end{aligned}\!}$

ซึ่งให้สูตรลดลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}$

ซึ่งเท่ากับ

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}x={\frac {1}{a}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}x\right).\!}$

อีกทางเลือกหนึ่งในการหาสูตรลดทอนได้โดยการบูรณาการแบบแยกส่วน

${\displaystyle I_{n}=\int x^{n}xe^{ax}\,{\text{d}x,\!}$

${\displaystyle u=x^{n}{\text{, }\ dv=e^{ax},}$

${\displaystyle {\frac {du}{dx}\ =nx^{n-1}{\text{, }\ v={\frac {e^{ax}{a}\ }$

${\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}{a}\ -\int nx^{n-1}\ {\frac {e^{ax}{a}\ {\text{d}x\ }$

${\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}{a}\ -{\frac {n}{a}\ \int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}x\ }$

จำไว้ว่า

${\displaystyle I_{n-1}=\int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}x\ }$

${\displaystyle \therefore \ I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}{a}\ -{\frac {n}{a}\ I_{n-1}$

ซึ่งให้สูตรลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}$

ซึ่งเท่ากับ

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}x={\frac {1}{a}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}x\right).\!}$

ปริพันธ์ต่อไปนี้^[3] ประกอบด้วย

• ตัวประกอบของรากเชิงเส้น ${\displaystyle {\sqrt {ax+b}\,\!}$
• ตัวประกอบเชิงเส้น ${\displaystyle {px+q}\,\!}$ และรากเชิงเส้น ${\displaystyle {\sqrt {ax+b}\,\!}$
• ตัวประกอบกำลังสอง ${\displaystyle x^{2}+a^{2}\,\!}$
• ตัวประกอบกำลังสอง ${\displaystyle x^{2}-a^{2}\,\!}$, สำหรับ ${\displaystyle x>a\,\!}$
• ตัวประกอบกำลังสอง ${\displaystyle a^{2}-x^{2}\,\!}$, สำหรับ ${\displaystyle x<a\,\!}$
• ตัวประกอบกำลังสอง (ลดทอนไม่ได้) ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}$
• รากที่สองของตัวประกอบกำลังสองที่ลดทอนไม่ได้ ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}\,\!}$

ปริพันธ์	สูตรลดทอน
${\displaystyle I_{n}=\int {\frac {x^{n}{\sqrt {ax+b}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {ax+b}{a(2n+1)}-{\frac {2nb}{a(2n+1)}I_{n-1}\,\!}$
${\displaystyle I_{n}=\int {\frac {\text{d}x}{x^{n}{\sqrt {ax+b}\,\!}$	${\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}{(n-1)bx^{n-1}-{\frac {a(2n-3)}{2b(n-1)}I_{n-1}\,\!}$
${\displaystyle I_{n}=\int x^{n}{\sqrt {ax+b}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {(ax+b)^{3}{a(2n+3)}-{\frac {2nb}{a(2n+3)}I_{n-1}\,\!}$
${\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {\text{d}x}{(ax+b)^{m}(px+q)^{n}\,\!}$	${\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}+a(m+n-2)I_{m,n-1}\right]\\{\frac {1}{(m-1)(bp-aq)}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}+p(m+n-2)I_{m-1,n}\right]\end{cases}\,\!}$
${\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {(ax+b)^{m}{(px+q)^{n}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}\left[{\frac {(ax+b)^{m+1}{(px+q)^{n-1}+a(n-m-2)I_{m,n-1}\right]\\-{\frac {1}{(n-m-1)p}\left[{\frac {(ax+b)^{m}{(px+q)^{n-1}+m(bp-aq)I_{m-1,n}\right]\\-{\frac {1}{(n-1)p}\left[{\frac {(ax+b)^{m}{(px+q)^{n-1}-amI_{m-1,n-1}\right]\end{cases}\,\!}$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
${\displaystyle I_{n}=\int {\frac {(px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle \int (px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}\,{\text{d}x={\frac {2(px+q)^{n+1}{\sqrt {ax+b}{p(2n+3)}+{\frac {bp-aq}{p(2n+3)}I_{n}\,\!}$ ${\displaystyle I_{n}={\frac {2(px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}{a(2n+1)}+{\frac {2n(aq-bp)}{a(2n+1)}I_{n-1}\,\!}$
${\displaystyle I_{n}=\int {\frac {\text{d}x}{(px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}\,\!}$	${\displaystyle \int {\frac {\sqrt {ax+b}{(px+q)^{n}\,{\text{d}x=-{\frac {\sqrt {ax+b}{p(n-1)(px+q)^{n-1}+{\frac {a}{2p(n-1)}I_{n}\,\!}$ ${\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}{(n-1)(aq-bp)(px+q)^{n-1}+{\frac {a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}I_{n-1}\,\!}$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
${\displaystyle I_{n}=\int {\frac {\text{d}x}{(x^{2}+a^{2})^{n}\,\!}$	${\displaystyle I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}I_{n-1}\,\!}$
${\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {\text{d}x}{x^{m}(x^{2}+a^{2})^{n}\,\!}$	${\displaystyle a^{2}I_{n,m}=I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!}$
${\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}{(x^{2}+a^{2})^{n}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle I_{n,m}=I_{m-2,n-1}-a^{2}I_{m-2,n}\,\!}$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
${\displaystyle I_{n}=\int {\frac {\text{d}x}{(x^{2}-a^{2})^{n}\,\!}$	${\displaystyle I_{n}=-{\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}-a^{2})^{n-1}-{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}I_{n-1}\,\!}$
${\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {\text{d}x}{x^{m}(x^{2}-a^{2})^{n}\,\!}$	${\displaystyle {a^{2}I_{n,m}=I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!}$
${\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}{(x^{2}-a^{2})^{n}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle I_{n,m}=I_{m-2,n-1}+a^{2}I_{m-2,n}\,\!}$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
${\displaystyle I_{n}=\int {\frac {\text{d}x}{(a^{2}-x^{2})^{n}\,\!}$	${\displaystyle I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(a^{2}-x^{2})^{n-1}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}I_{n-1}\,\!}$
${\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {\text{d}x}{x^{m}(a^{2}-x^{2})^{n}\,\!}$	${\displaystyle {a^{2}I_{n,m}=I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!}$
${\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}{(a^{2}-x^{2})^{n}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle I_{n,m}=a^{2}I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!}$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
${\displaystyle I_{n}=\int {\frac {\text{d}x}{x^{n}(ax^{2}+bx+c)}\,\!}$	${\displaystyle -cI_{n}={\frac {1}{x^{n-1}(n-1)}+bI_{n-1}+aI_{n-2}\,\!}$
${\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {x^{m}\,{\text{d}x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}\,\!}$	${\displaystyle I_{m,n}=-{\frac {x^{m-1}{a(2n-m-1)(ax^{2}+bx+c)^{n-1}-{\frac {b(n-m)}{a(2n-m-1)}I_{m-1,n}+{\frac {c(m-1)}{a(2n-m-1)}I_{m-2,n}\,\!}$
${\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {\text{d}x}{x^{m}(ax^{2}+bx+c)^{n}\,\!}$	${\displaystyle -c(m-1)I_{m,n}={\frac {1}{x^{m-1}(ax^{2}+bx+c)^{n-1}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\!}$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
${\displaystyle I_{n}=\int (ax^{2}+bx+c)^{n}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle 8a(n+1)I_{n+{\frac {1}{2}=2(2ax+b)(ax^{2}+bx+c)^{n+{\frac {1}{2}+(2n+1)(4ac-b^{2})I_{n-{\frac {1}{2}\,\!}$
${\displaystyle I_{n}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{n}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle (2n-1)(4ac-b^{2})I_{n+{\frac {1}{2}={\frac {2(2ax+b)}{(ax^{2}+bx+c)^{n-{\frac {1}{2}+{8a(n-1)}I_{n-{\frac {1}{2}\,\!}$

${\displaystyle I_{n+{\frac {1}{2}=I_{\frac {2n+1}{2}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2n+1}{2}\,{\text{d}x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}\,{\text{d}x\,\!}$

ปริพันธ์ต่อไปนี้^[4] ประกอบด้วย

• ตัวประกอบของไซน์
• ตัวประกอบของโคไซน์
• ตัวประกอบของผลคูณและผลหารของไซน์และโคไซน์
• ผลคูณ/ผลหารของตัวประกอบเลขชี้กำลังและกำลังของ x
• ผลคูณของตัวประกอบเลขชี้กำลังและไซน์/โคไซน์

ปริพันธ์	สูตรลดทอน
${\displaystyle I_{n}=\int x^{n}\sin {ax}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle a^{2}I_{n}=-ax^{n}\cos {ax}+nx^{n-1}\sin {ax}-n(n-1)I_{n-2}\,\!}$
${\displaystyle J_{n}=\int x^{n}\cos {ax}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle a^{2}J_{n}=ax^{n}\sin {ax}+nx^{n-1}\cos {ax}-n(n-1)J_{n-2}\,\!}$
${\displaystyle I_{n}=\int {\frac {\sin {ax}{x^{n}\,{\text{d}x\,\!}$ ${\displaystyle J_{n}=\int {\frac {\cos {ax}{x^{n}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sin {ax}{(n-1)x^{n-1}+{\frac {a}{n-1}J_{n-1}\,\!}$ ${\displaystyle J_{n}=-{\frac {\cos {ax}{(n-1)x^{n-1}-{\frac {a}{n-1}I_{n-1}\,\!}$ สูตรเหล่านี้สามารถรวมกันให้อยู่ในรูป In ${\displaystyle J_{n-1}=-{\frac {\cos {ax}{(n-2)x^{n-2}-{\frac {a}{n-2}I_{n-2}\,\!}$ ${\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sin {ax}{(n-1)x^{n-1}-{\frac {a}{n-1}\left[{\frac {\cos {ax}{(n-2)x^{n-2}+{\frac {a}{n-2}I_{n-2}\right]\,\!}$ ${\displaystyle \therefore I_{n}=-{\frac {\sin {ax}{(n-1)x^{n-1}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}\left({\frac {\cos {ax}{x^{n-2}+aI_{n-2}\right)\,\!}$ และในรูป Jn ${\displaystyle I_{n-1}=-{\frac {\sin {ax}{(n-2)x^{n-2}+{\frac {a}{n-2}J_{n-2}\,\!}$ ${\displaystyle J_{n}=-{\frac {\cos {ax}{(n-1)x^{n-1}-{\frac {a}{n-1}\left[-{\frac {\sin {ax}{(n-2)x^{n-2}+{\frac {a}{n-2}J_{n-2}\right]\,\!}$ ${\displaystyle \therefore J_{n}=-{\frac {\cos {ax}{(n-1)x^{n-1}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}\left(-{\frac {\sin {ax}{x^{n-2}+aJ_{n-2}\right)\,\!}$
${\displaystyle I_{n}=\int \sin ^{n}{ax}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle anI_{n}=-\sin ^{n-1}{ax}\cos {ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!}$
${\displaystyle J_{n}=\int \cos ^{n}{ax}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle anJ_{n}=\sin {ax}\cos ^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!}$
${\displaystyle I_{n}=\int {\frac {\text{d}x}{\sin ^{n}{ax}\,\!}$	${\displaystyle (n-1)I_{n}=-{\frac {\cos {ax}{a\sin ^{n-1}{ax}+(n-2)I_{n-2}\,\!}$
${\displaystyle J_{n}=\int {\frac {\text{d}x}{\cos ^{n}{ax}\,\!}$	${\displaystyle (n-1)J_{n}={\frac {\sin {ax}{a\cos ^{n-1}{ax}+(n-2)J_{n-2}\,\!}$

ปริพันธ์	สูตรลดรูป
${\displaystyle I_{m,n}=\int \sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n+1}{ax}{a(m+n)}+{\frac {m-1}{m+n}I_{m-2,n}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}{a(m+n)}+{\frac {n-1}{m+n}I_{m,n-2}\\\end{cases}\,\!}$
${\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {\text{d}x}{\sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}\,\!}$	${\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}+{\frac {m+n-2}{n-1}I_{m,n-2}\\-{\frac {1}{a(m-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}+{\frac {m+n-2}{m-1}I_{m-2,n}\\\end{cases}\,\!}$
${\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {\sin ^{m}{ax}{\cos ^{n}{ax}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {\sin ^{m-1}{ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}-{\frac {m-1}{n-1}I_{m-2,n-2}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}-{\frac {m-n+2}{n-1}I_{m,n-2}\\-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}{a(m-n)\cos ^{n-1}{ax}+{\frac {m-1}{m-n}I_{m-2,n}\\\end{cases}\,\!}$
${\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {\cos ^{m}{ax}{\sin ^{n}{ax}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\cos ^{m-1}{ax}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}-{\frac {m-1}{n-1}I_{m-2,n-2}\\-{\frac {\cos ^{m+1}{ax}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}-{\frac {m-n+2}{n-1}I_{m,n-2}\\{\frac {\cos ^{m-1}{ax}{a(m-n)\sin ^{n-1}{ax}+{\frac {m-1}{m-n}I_{m-2,n}\\\end{cases}\,\!}$

ปริพันธ์	สูตรลดทอน
${\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}x\,\!}$ ${\displaystyle n>0\,\!}$	${\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}{a}-{\frac {n}{a}I_{n-1}\,\!}$
${\displaystyle I_{n}=\int x^{-n}e^{ax}\,{\text{d}x\,\!}$ ${\displaystyle n>0\,\!}$ ${\displaystyle n\neq 1\,\!}$	${\displaystyle I_{n}={\frac {-e^{ax}{(n-1)x^{n-1}+{\frac {a}{n-1}I_{n-1}\,\!}$
${\displaystyle I_{n}=\int e^{ax}\sin ^{n}{bx}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle I_{n}={\frac {e^{ax}\sin ^{n-1}{bx}{a^{2}+(bn)^{2}\left(a\sin bx-bn\cos bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}{a^{2}+(bn)^{2}I_{n-2}\,\!}$
${\displaystyle I_{n}=\int e^{ax}\cos ^{n}{bx}\,{\text{d}x\,\!}$	${\displaystyle I_{n}={\frac {e^{ax}\cos ^{n-1}{bx}{a^{2}+(bn)^{2}\left(a\cos bx+bn\sin bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}{a^{2}+(bn)^{2}I_{n-2}\,\!}$

• Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.