Ли́шок (від фр. résidu — лишок, англ. residue, рос. вычет) у комплексному аналізі — число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралів мероморфних функцій у деякій особливій точці. За допомогою лишків можна обчислювати значення інтегралів різних типів, у тому числі дійсних.
Визначення
Нехай функція
має ізольовану особливу точку
(або регулярна у цій точці). При скінченному
лишком функції
у точці
називається величина
![{\displaystyle \mathrm {res} _{\text{z=a}f(z)={\frac {1}{2\pi i}\oint _{|z-a|=\varrho }f(z)dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06447bd51a20cb478abab205fe78eb7f7f37ebaa)
де інтегрування проводиться по додатно орієнтованому контуру (при обході область залишається ліворуч). Оскільки
— будь-яке достатньо мале додатне число, а
— мероморфна, то величина вищевказаного інтегралу не залежить від значення цього параметра та шляху інтегрування.
Нескладно довести, що перший коефіцієнт розкладу функції
по степеням
в ряд Лорана є лишком цієї функції:
![{\displaystyle \mathrm {res} _{\text{z=a}f(z)=C_{-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023080ed74b46ac3f8ea74222aebb671befa079c)
Лишок у «нескінченності»
Для повного дослідження функції необхідно розглядати лишок у нескінченності (нескінченно віддалена точка на сфері Рімана). Нехай точка
є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції
, тоді лишком у нескінченності називається число
,
де
— будь-яке достатньо велике додатне число. При цьому напрямок інтегрування по межі області обирається так, щоб область залишалася зліва (тобто проти годинникової стрілки).
Аналогічно до попереднього випадку, лишок у нескінченності можна представити у вигляді коефіцієнта лоранівського розкладу в околі нескінченно віддаленої точки:
![{\displaystyle \mathrm {res} _{\infty }f(z)=-C_{-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ce2d582d4a66bcfbe397ec212651357bc53030)
Логарифмічний лишок
Інтеграл виду
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e3d21c5a23e6034b0491f487e7ee0a1ca7a2d4)
називається логарифмічним лишком функції
відносно контуру С. Свою назву отримав через те, що підінтегральний вираз є похідною логарифма. Знаходить застосування у доведенні теореми Руше та основної теореми алгебри. Сам інтеграл визначається лише принципом аргументу:
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}dz={\frac {1}{2\pi i}\oint _{C}(\mathrm {Ln} (f(z))'dz={\frac {1}{2\pi i}\mathrm {Ln} (f(z))_{C}={\frac {1}{2\pi i}(\ln |f(z)|+i\mathrm {arg} f(z))_{C}={\frac {1}{2\pi }\Delta _{C}\mathrm {arg} f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c384b13b16f718a0cf79c71cbe2b7486c6d518)
Методи обчислення лишків
На практиці обчислювати лишки за означенням, тобто через контурний інтеграл, у багатьох випадках важко. Тому використовують наслідки з означення для особливих точок різного типу.
Усувна особлива точка
В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розклад в ряд Лорана, то
![{\displaystyle \mathrm {res} _{\infty }f(z)=-C_{-1}=\lim _{z\to \infty }[z(f(\infty )-f(z))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cb34b81174d80c2fee6041b98166a562b5b540)
Полюс
- Простий полюс у точці
:
![{\displaystyle \mathrm {res} _{\text{z=a}f(z)=\lim _{z\to a}(f(z)(z-a))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d6f05059d5b5cc81bd143a27fc0fbb7a6628d0)
- Полюс кратності n у точці
:
![{\displaystyle \mathrm {res} _{\text{z=a}f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{z\to a}{d^{(n-1)} \over dz^{(n-1)}[f(z)(z-a)^{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5805a29bd60328549d38a6d4680be6fdea863b6)
Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій:
, і
, то:
![{\displaystyle \mathrm {res} _{\text{z=a}f(z)={\frac {g(a)}{h'(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fcd1880db05494167cfe9a9fc5e03e2aa5b156b)
Істотно особлива точка
У більшості випадків в істотно особливій точці лишок зручно знаходити, як коефіцієнт розкладу в ряд Лорана. Наприклад:
![{\displaystyle f(z)=(2z-1)\cos {\frac {z}{z-1}=(2(z-1)+1)\cos \left(1+{\frac {1}{z-1}\right)=(2(z-1)+1)(\cos 1\cos {\frac {1}{z-1}-\sin 1\sin {\frac {1}{z-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a68388b7321dd39d388bdf47f2f29544ae3996)
Розкладемо
та
в ряд Лорана:
![{\displaystyle \cos {\frac {1}{z-1}=1-{\frac {1}{2!(z-1)^{2}+{\frac {1}{4!(z-1)^{4}-...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/791e747cd883eed98f637209ec54471f1b10fcad)
![{\displaystyle \sin {\frac {1}{z-1}={\frac {1}{z-1}-{\frac {1}{3!(z-1)^{3}+{\frac {1}{5!(z-1)^{5}-...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ad94e2854ca81ed34caa6d437f1204478baf7b)
Тоді після підстановки цих розкладів та зведення подібних доданків, знаходимо:
![{\displaystyle \mathrm {res} _{z=1}=C_{-1}=-\cos 1-\sin 1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c64e35437ca4de659a6438189dcfa5480f8800)
Див. також
Джерела
- Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
- Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.