Розподіл Гаусса — Кузьміна
Розподіл Гаусса — Кузьміна | |
---|---|
Параметри | (нема) |
Носій функції | |
Розподіл імовірностей | |
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | |
Середнє | |
Медіана | |
Мода | |
Дисперсія | |
Коефіцієнт асиметрії | (не визначена) |
Коефіцієнт ексцесу | (не визначена) |
Ентропія | 3.432527514776...[1][2][3] |
Твірна функція моментів (mgf) | {mgf} |
Характеристична функція | {char} |
У математиці, розподіл Гаусса–Кузьміна — це дискретний розподіл ймовірностей, який виникає як границя розподілу ймовірностей коефіцієнтів розширення неперервного дробу рівномірно розподіленої випадкової величини на (0, 1)[4]. Розподіл названо на честь Карла Фрідріха Гаусса, який вивів його близько 1800 року[5], і Родіона Кузьміна, який дав обмеження на швидкість збіжності 1929 року[6][7]. Він задається функцією ймовірности:
Теорема Гаусса – Кузьміна
Нехай
нескінченний дріб розширення випадкового рівномірно розподіленого на (0, 1) числа х. Тоді
Аналогічно, нехай
тоді
прямує до нуля при n, що прямує до нескінченності.
Швидкість збіжності
У 1928 році Кузьмін дав границю
У 1929 році Поль Леві[8] її поліпшив
Пізніше, Едуард Вірсинг[en] показав[9], що для λ=0.30366… (стала Гаусса — Кузьміна — Вірсинга[en]), границя
існує для кожного , а функція Ψ(х) є аналітичною і задовольняє Ψ(0)=Ψ(1)=0. Подальші границі були доведені К. І. Бабенком[10].
Див. також
Примітки
- ↑ Blachman, N. (1984). The continued fraction as an information source (Corresp.). IEEE Transactions on Information Theory. 30 (4): 671—674. doi:10.1109/TIT.1984.1056924. (англ.)
- ↑ Kornerup, Peter; Matula, David W. (July 1995). LCF: A lexicographic binary representation of the rationals. Journal of Universal Computer Science. 1: 484—503. doi:10.1007/978-3-642-80350-5_41. (англ.)
- ↑ Vepstas, L. (2008), Entropy of Continued Fractions (Gauss-Kuzmin Entropy) (PDF), архів оригіналу (PDF) за 29 жовтня 2020, процитовано 16 грудня 2018 (англ.)
- ↑ Weisstein, Eric W. Gauss–Kuzmin Distribution(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
- ↑ Gauss, Johann Carl Friedrich. Werke Sammlung. Т. 10/1. с. 552—556. (англ.)
- ↑ Kuzmin, R. O. (1928). On a problem of Gauss. Dokl. Akad. Nauk SSSR: 375—380. (англ.)
- ↑ Kuzmin, R. O. (1932). On a problem of Gauss. Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna. 6: 83—89.(італ.)
- ↑ Lévy, P. (1929). Sur les lois de probabilité dont dépendant les quotients complets et incomplets d'une fraction continue. Bulletin de la Société Mathématique de France. 57: 178—194. JFM 55.0916.02. Архів оригіналу за 18 липня 2018. Процитовано 16 грудня 2018. (фр.)
- ↑ Wirsing, E. (1974). On the theorem of Gauss–Kusmin–Lévy and a Frobenius-type theorem for function spaces. Acta Arithmetica. 24: 507—528.
- ↑ Бабенко, К. И. (1978). “Об одной задаче Гаусса”. Докл. АН СССР. 238:5: 1021—1024. Процитовано 21 червня 2019. (рос.)
|