Таблиця інтегралів обернених тригонометричних функцій
Це список інтегралів (первісних функцій ) обернених тригонометричних функцій (також відомих як арк- функції). Для повнішого списку інтегралів дивись Таблиця інтегралів .
У всіх цих формурах під a мається на увазі ненульова константа , C означає сталу інтегрування , визначену тоді, коли відома точка, через яку проходить первісна. Таким чином, кожна функція має необмежену кількість первісних.
Зауваження. В математичній літературі стрічаються різна позначення для обернених тригонометричних функцій. Наприклад, арксинус може бути записаний як sin−1 , asin , або ж позначенням, що використовується тут, arcsin .
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}+C}
∫
arcsin
x
a
d
x
=
x
arcsin
x
a
+
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin {\frac {x}{a}\ dx=x\arcsin {\frac {x}{a}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}+C}
∫
x
arcsin
x
a
d
x
=
(
x
2
2
−
a
2
4
)
arcsin
x
a
+
x
4
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int x\arcsin {\frac {x}{a}\ dx=\left({\frac {x^{2}{2}-{\frac {a^{2}{4}\right)\arcsin {\frac {x}{a}+{\frac {x}{4}{\sqrt {a^{2}-x^{2}+C}
∫
x
2
arcsin
x
a
d
x
=
x
3
3
arcsin
x
a
+
x
2
+
2
a
2
9
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\arcsin {\frac {x}{a}\ dx={\frac {x^{3}{3}\arcsin {\frac {x}{a}+{\frac {x^{2}+2a^{2}{9}{\sqrt {a^{2}-x^{2}+C}
∫
x
n
arcsin
x
d
x
=
1
n
+
1
(
x
n
+
1
arcsin
x
+
x
n
1
−
x
2
−
n
x
n
−
1
arcsin
x
n
−
1
+
n
∫
x
n
−
2
arcsin
x
d
x
)
{\displaystyle \int x^{n}\arcsin x\ dx={\frac {1}{n+1}\left(x^{n+1}\arcsin x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{2}-nx^{n-1}\arcsin x}{n-1}+n\int x^{n-2}\arcsin x\ dx\right)}
∫
cos
n
x
arcsin
x
d
x
=
(
x
n
2
+
1
arccos
x
+
x
n
1
−
x
4
−
n
x
n
2
−
1
arccos
x
n
2
−
1
+
n
∫
x
n
2
−
2
arccos
x
d
x
)
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\arcsin x\ dx=\left(x^{n^{2}+1}\arccos x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{4}-nx^{n^{2}-1}\arccos x}{n^{2}-1}+n\int x^{n^{2}-2}\arccos x\ dx\right)}
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arccos x\,dx=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}+C}
∫
arccos
x
a
d
x
=
x
arccos
x
a
−
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arccos {\frac {x}{a}\ dx=x\arccos {\frac {x}{a}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}+C}
∫
x
arccos
x
a
d
x
=
(
x
2
2
−
a
2
4
)
arccos
x
a
−
x
4
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int x\arccos {\frac {x}{a}\ dx=\left({\frac {x^{2}{2}-{\frac {a^{2}{4}\right)\arccos {\frac {x}{a}-{\frac {x}{4}{\sqrt {a^{2}-x^{2}+C}
∫
x
2
arccos
x
a
d
x
=
x
3
3
arccos
x
a
−
x
2
+
2
a
2
9
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\arccos {\frac {x}{a}\ dx={\frac {x^{3}{3}\arccos {\frac {x}{a}-{\frac {x^{2}+2a^{2}{9}{\sqrt {a^{2}-x^{2}+C}
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \arctan x\,dx=x\arctan x-{\frac {1}{2}\ln(1+x^{2})+C}
∫
arctan
(
x
a
)
d
x
=
x
arctan
(
x
a
)
−
a
2
ln
(
1
+
x
2
a
2
)
+
C
{\displaystyle \int \arctan {\big (}{\frac {x}{a}{\big )}dx=x\arctan {\big (}{\frac {x}{a}{\big )}-{\frac {a}{2}\ln(1+{\frac {x^{2}{a^{2})+C}
∫
x
arctan
(
x
a
)
d
x
=
(
a
2
+
x
2
)
arctan
(
x
a
)
−
a
x
2
+
C
{\displaystyle \int x\arctan {\big (}{\frac {x}{a}{\big )}dx={\frac {(a^{2}+x^{2})\arctan {\big (}{\frac {x}{a}{\big )}-ax}{2}+C}
∫
x
2
arctan
(
x
a
)
d
x
=
x
3
3
arctan
(
x
a
)
−
a
x
2
6
+
a
3
6
ln
(
a
2
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}{\big )}dx={\frac {x^{3}{3}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}{\big )}-{\frac {ax^{2}{6}+{\frac {a^{3}{6}\ln({a^{2}+x^{2})+C}
∫
x
n
arctan
(
x
a
)
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
arctan
(
x
a
)
−
a
n
+
1
∫
x
n
+
1
a
2
+
x
2
d
x
,
n
≠
−
1
{\displaystyle \int x^{n}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}{\big )}dx={\frac {x^{n+1}{n+1}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}{\big )}-{\frac {a}{n+1}\int {\frac {x^{n+1}{a^{2}+x^{2}\ dx,\quad n\neq -1}
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
ln
|
x
+
x
x
2
−
1
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccsc} x\,dx=x\operatorname {arccsc} x+\ln \left|x+x{\sqrt {x^{2}-1} \over x^{2}\right|+C}
∫
arccsc
x
a
d
x
=
x
arccsc
x
a
+
a
ln
(
x
a
(
1
−
a
2
x
2
+
1
)
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}\ dx=x\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}+{a}\ln {({\frac {x}{a}({\sqrt {1-{\frac {a^{2}{x^{2}+1))}+C}
∫
x
arccsc
x
a
d
x
=
x
2
2
arccsc
x
a
+
a
x
2
1
−
a
2
x
2
+
C
{\displaystyle \int x\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}\ dx={\frac {x^{2}{2}\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}+{\frac {ax}{2}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}{x^{2}+C}
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
|
x
+
x
x
2
−
1
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsec} x\,dx=x\operatorname {arcsec} x-\ln \left|x+x{\sqrt {x^{2}-1} \over x^{2}\right|+C}
∫
arcsec
x
a
d
x
=
x
arcsec
x
a
+
x
a
|
x
|
ln
|
x
±
x
2
−
1
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}\ dx=x\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}+{\frac {x}{a|x|}\ln \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}\right|+C}
∫
x
arcsec
x
d
x
=
1
2
(
x
2
arcsec
x
−
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle \int x\operatorname {arcsec} x\ dx={\frac {1}{2}\left(x^{2}\operatorname {arcsec} x-{\sqrt {x^{2}-1}\right)+C}
∫
x
n
arcsec
x
d
x
=
1
n
+
1
(
x
n
+
1
arcsec
x
−
1
n
[
x
n
−
1
x
2
−
1
+
[
1
−
n
]
(
x
n
−
1
arcsec
x
+
(
1
−
n
)
∫
x
n
−
2
arcsec
x
d
x
)
]
)
{\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arcsec} x\ dx={\frac {1}{n+1}\left(x^{n+1}\operatorname {arcsec} x-{\frac {1}{n}\left[x^{n-1}{\sqrt {x^{2}-1}+[1-n]\left(x^{n-1}\operatorname {arcsec} x+(1-n)\int x^{n-2}\operatorname {arcsec} x\ dx\right)\right]\right)}
∫
arccot
x
d
x
=
x
arccot
x
+
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccot} x\,dx=x\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}\ln(1+x^{2})+C}
∫
arccot
x
a
d
x
=
x
arccot
x
a
+
a
2
ln
(
a
2
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccot} {\frac {x}{a}\ dx=x\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}+{\frac {a}{2}\ln(a^{2}+x^{2})+C}
∫
x
arccot
x
a
d
x
=
a
2
+
x
2
2
arccot
x
a
+
a
x
2
+
C
{\displaystyle \int x\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}\ dx={\frac {a^{2}+x^{2}{2}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}+{\frac {ax}{2}+C}
∫
x
2
arccot
x
a
d
x
=
x
3
3
arccot
x
a
+
a
x
2
6
−
a
3
6
ln
(
a
2
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}\ dx={\frac {x^{3}{3}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}+{\frac {ax^{2}{6}-{\frac {a^{3}{6}\ln(a^{2}+x^{2})+C}
∫
x
n
arccot
x
a
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
arccot
x
a
+
a
n
+
1
∫
x
n
+
1
a
2
+
x
2
d
x
,
n
≠
−
1
{\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}\ dx={\frac {x^{n+1}{n+1}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}+{\frac {a}{n+1}\int {\frac {x^{n+1}{a^{2}+x^{2}\ dx,\quad n\neq -1}
Двайт Г. Б. Обратные тригонометрические функции — интегралы // Таблицы интегралов и другие математические формулы / пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. — М . : Наука , 1978. — С. 106-114.(рос.)
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd
![{\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arcsec} x\ dx={\frac {1}{n+1}\left(x^{n+1}\operatorname {arcsec} x-{\frac {1}{n}\left[x^{n-1}{\sqrt {x^{2}-1}+[1-n]\left(x^{n-1}\operatorname {arcsec} x+(1-n)\int x^{n-2}\operatorname {arcsec} x\ dx\right)\right]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ddbb1b68bbd8854785c4f9425e08803dc092d4)
