Теорема Ріса
Теорема Ріса (також теорема Ріса-Фреше) у функціональному аналізі стверджує, що кожен лінійний обмежений функціонал у гільбертовому просторі може бути представлений через скалярний добуток за допомогою деякого елементу.
Твердження
Нехай маємо:
- Гільбертів простір H
- Лінійний обмежений функціонал у просторі
Тоді існує єдиний елемент простору такий, що для довільного виконується .
Також виконується рівність
Доведення
ядро лінійного функціоналу є векторним підпростором .
Існування
Якщо , достатньо взяти .
Якщо ж , тоді . Відповідно можна знайти елемент ,
- , позначимо .
Оскільки очевидно маємо за означенням b, що . З лінійності скалярного добутку отримуємо:
Звідси .
Нарешті
де позначено .
Єдиність
Припустимо і елементи Що задовольняють .
Для всіх справджується зокрема звідки й отримується рівність .
Рівність норм
Для доведення спершу з нерівності Коші-Буняковського маємо: . Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо: З іншого боку звідки . Поєднуючи дві нерівності одержуємо
Див. також
Джерела
- Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
- Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — 3-є. — Х. : Вища школа, 1977. — Т. 1. — 316 с.(рос.)
- Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Вища школа, 1993. — 375 с. — ISBN 5-11-003758-2.(укр.)
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)