Трипелюсткова троянда

Трипелюсткова троянда

${\displaystyle r=a\cdot \cos 3\varphi }$

${\displaystyle r=a\cdot \sin 3\varphi }$

Трипелюсткова троянда (також правильний трилисник^{[1]:стор.304}, або трифолій) — плоска алгебрична крива четвертого порядку, троянда з трьома пелюстками.

Крива вивчалася Лоншамом в 1885 р. та А.Брокаром в 1887 р.^[2]

Є окремим випадком сімейства синусоїдальних спіралей, а також епі- та гіпотрохоїд.

Рівняння
В полярній системі координат	${\displaystyle \rho =a\cdot \cos 3\varphi \,,\quad 0\leq \varphi \leq \pi }$  ; або ${\displaystyle \rho =a\cdot \cos \varphi \cdot (1-4\sin ^{2}\varphi )\,,\quad 0\leq \varphi \leq \pi }$		${\displaystyle \rho =a\cdot \sin 3\varphi \,,\quad 0\leq \varphi \leq \pi }$  ; або ${\displaystyle \rho =a\cdot \sin \varphi \cdot (4\cos ^{2}\varphi -1)\,,\quad 0\leq \varphi \leq \pi }$
В декартовій системі координат в неявному виді	${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a\cdot (x^{3}-3xy^{2})}$  ; або ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})\cdot (x^{2}-ax+y^{2})=-4axy^{2}$		${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\cdot \left(3x^{2}y-y^{3}\right)}$
В декартовій стстемі координат в параметричному виді	${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a\cdot \cos t\cdot \cos 3t\\y(t)=a\cdot \sin t\cdot \cos 3t\end{cases}\,,\quad 0\leq t\leq \pi }$ ; Також: ${\displaystyle {\begin{cases}x(t)={\frac {a}{2}\cdot (\sin t-\cos 2t)\\y(t)={\frac {a}{2}\cdot (\cos t-\sin 2t)\end{cases}\,,\quad -{\frac {\pi }{2}\leq t\leq {\frac {3\pi }{2}$; Також: ${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=-{\frac {a\cdot (3t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}\\y(t)={\frac {at\cdot (3t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}\end{cases}\,,\quad -\infty <t<+\infty }$		${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a\cdot \cos t\cdot \sin 3t\\y(t)=a\cdot \sin t\cdot \sin 3t\end{cases}\,,\quad 0\leq t\leq \pi }$ ; Також: ${\displaystyle {\begin{cases}x(t)={\frac {a}{2}\cdot (\cos t+\sin 2t)\\y(t)={\frac {a}{2}\cdot (\sin t+\cos 2t)\end{cases}\,,\quad -{\frac {\pi }{2}\leq t\leq {\frac {3\pi }{2}$
	Початок координат (полюс) ${\displaystyle O(0,0)}$ — трикратна вузлова точка; Крива симетрична віносно осі ${\displaystyle Ox}$ (полярної осі).		Початок координат (полюс) ${\displaystyle O(0,0)}$ — трикратна вузлова точка; Крива симетрична віносно осі ${\displaystyle Oy}$ (oсі ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}$).

Нехай троянда задана в системі координат одним з рівнянь попереднього розділу. Тоді:

• Довжина дуги троянди: ^{[2] [3]}

${\displaystyle \ell =2a\cdot \mathrm {E} \left(2{\sqrt {2}\cdot i\right)=6a\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{2}{\sqrt {1-{\frac {8}{9}\cdot \sin ^{2}t}\,dt\,\approx 6.6824466...\cdot a.}$'

де ${\displaystyle \mathrm {E} (k)}$ — повний еліптичний інтеграл другого роду.
Послідовність  A093728 в ОЕIS.

Довжина довільної дуги трипелюсткової троянди, що відповідає параметру t: ^[3]

${\displaystyle \ell (t)={\frac {1}{3}a\cdot \mathrm {E} \left(3t,2{\sqrt {2}\cdot i\right)}$

де ${\displaystyle \mathrm {E} (x,k)}$ — неповний еліптичний інтеграл другого роду.

• Площа области, що обмежена трипелюстковою трояндою:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}a^{2}\cdot \int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(3\varphi )d\varphi =6\cdot {\frac {1}{2}\cdot a^{2}\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{6}\cos ^{2}(3\varphi )d\varphi ={\frac {\pi a^{2}{4}$

Ця площа дорівнює чверті площі описаного навколо троянди круга.

Площа области, що обмежена однією пелюсткою троянди дорівнює π·a²/12.

• Кривина трипелюсткової троянди в довільній точці, що відповідає параметру t:^[3]

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {14-4\cos(6t)}{a\cdot [5-4\cos(6t)]^{\tfrac {3}{2}$.

Зокрема, радіус кривини у вершинах пелюсток троянди (параметр ${\displaystyle t=0}$ в косинус- варіанті кривої) дорівнює:

${\displaystyle \rho (t)={\frac {1}{\kappa (t)}={\frac {a}{10}$.

• Вся крива розташовується всередині кола радіуса ${\displaystyle a}$ і сладається з трьох однакових за формою та розміром пелюсток.

Вершини пелюсток є вершинами правильного трикутника.

• Трипелюсткова троянда є алгебричною раціональною кривою 4-го порядку роду 0.^[4]
• Крива має 3 осі симетрії, що проходять через вершину кожної пелюстки. Зокрема рівняння осей симетрії для косинус-варіанта кривої:

${\displaystyle y=0\,,\quad {\text{та}\quad y=\pm {\sqrt {3}\cdot x}$

Центру симетрії не має.

Прямі ${\displaystyle x=0\,,\quad {\text{та}\quad y=\pm {\frac {\sqrt {3}{3}\cdot x}$ є дотичними у вузловій точці троянди.

• 

  Трипелюсткова троянда ${\displaystyle \quad \rho =a\cdot \cos 3\varphi }$ є гіпотрохоїдою, у якої радіус нерухомого кола дорівнює ${\displaystyle R={\frac {3a}{4}$, радіус твірного (рухомого) кола дорівнює ${\displaystyle r={\frac {a}{4}$, а відстань від твірної точки до центра рухомого кола дорівнює ${\displaystyle h={\frac {a}{2}$. ^{[5]:стор.235 [6]}

Трипелюсткова троянда є епітрохоїдою при ${\displaystyle R=3r}$ та ${\displaystyle h=R+r={\frac {4}{3}\cdot R}$. ^{[7]:стор.166}

• Трипелюсткова троянда є подерою дельтоїди (кривої Штейнера) відносно її центра. ^{[7]:стор.166}

Для дельтоїди

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=2r\cos {\frac {t}{3}+r\cos {\frac {2t}{3}\\y(t)=2r\sin {\frac {t}{3}-r\sin {\frac {2t}{3}\end{cases}$,

де ${\displaystyle t}$ — кут повороту твірного (рухомого) кола;
${\displaystyle r}$ — радіус твірного (рухомого) кола.
рівняння подери відносно її центру (початку координат) буде:

${\displaystyle \rho =r\cdot \cos 3\varphi }$

або

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=r\cdot (x^{3}-3xy^{2})}$

Ця троянда є вписаною в коло, яке вписане в дельтоїду. Вершини троянди збігаються з вершинами дельтоїди.^{[2] [7]:стор.128-129; 166}

• Нехай два рівних відрізка ${\displaystyle OA}$ та ${\displaystyle AM}$ довжиною ${\displaystyle a}$ обертаються навколо точок ${\displaystyle O}$ та ${\displaystyle A}$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює ${\displaystyle {\frac {\omega _{OA}{\omega _{AM}=3}$.
  Тоді траєкторією точки ${\displaystyle M}$ буде трипелюсткова троянда.
• Нехай два радіуси ${\displaystyle OA}$ та ${\displaystyle OB}$ деякого кола обертаються навколо точки ${\displaystyle O}$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює ${\displaystyle {\frac {\omega _{OA}{\omega _{OB}=3}$.
  Тоді, геометричним місцем підстав перпендикулярів, проведених з точки ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle OB}$ є трипелюсткова троянда.^{[7]:стор.165}

Трипелюсткова троянда

Траекторія точки, що здійснює гармонічні коливання вздовж прямої, що обертається зі сталою кутовою швидкістю навколо нерухомої точки — центра коливань.^{[6] [7]:стор.166}.

Утворення трипелюсткової троянди при обертанні зубчастих коліс.

• Трилисник

Трипелюсткова троянда є окремим випадком сімейства кривих, що є подерами дельтоїди відносно точок, що знаходяться всередині дельтоїди — трипелюсткові криві, що мають рівняння в декартовій системі координат:^[8]

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2})(ax+by)+r\cdot (x^{3}-3xy^{2})}$

Тут: ${\displaystyle A(a,b)}$ — центр дельтоїди;
${\displaystyle O(0,0)}$ — полюс подери.

Тобто дельтоїда має рівняння

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a-r\cdot (\cos 2t+2\cos t)\\y(t)=b+r\cdot (\sin 2t-2\sin t)\end{cases}$

Якщо ${\displaystyle A}$ збігається з ${\displaystyle O}$, отримаємо трипелюсткову троянду.

• Троянда (плоска крива)
• Чотирипелюсткова троянда

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство). — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1960.
• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М.М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник. — москва : фазис, 1997. — 336 с. — ISBN 5-7036-0027-8.
• Loria, Gino. Achtes Kapitel. Die Rhodoneen (Rosenkurven) von G. Grandi // Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. — Leipzig, 1902. — С. 297— 306. — ISBN 5-7036-0027-8.

• Weisstein, Eric W. Trifolium(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Ferréol Robert , Regular trifolium, на сайті MATHCURVE.COM, 2017
• MacTutor History of Mathematics Archive. «Trifolium»
• Jan Wassenaar, Rhodonea, на сайті www.2dcurves.com.
• Аплет для створення троянд з параметром k