Độ cong

Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung.

Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong ${\displaystyle R}$ là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong ${\displaystyle \kappa }$ chính là nghịch đảo của bán kính cong ${\displaystyle R}$.

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}$

Gọi ${\displaystyle ds}$ là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và ${\displaystyle d\phi }$ là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:

${\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}$

Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes

Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số ${\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}$, từ phần trên ta có định nghĩa:

${\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}{\dfrac {ds}{dt}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}{\sqrt {\left({\dfrac {dx}{dt}\right)^{2}+\left({\dfrac {dy}{dt}\right)^{2}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}{\sqrt {x'}^{2}+{y'}^{2}$

${\displaystyle d\phi }$ là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa ${\displaystyle \phi }$ là góc tiếp tuyến của đường cong.

${\displaystyle \tan \phi ={\dfrac {dy}{dx}={\dfrac {\dfrac {dy}{dt}{\dfrac {dx}{dt}={\dfrac {y'}{x'}$

Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số ${\displaystyle t}$ ta được:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}(\tan \phi )=\left(1+{\tan }^{2}\phi \right){\frac {d\phi }{dt}={\dfrac {x'y''-y'x''}{x'}^{2}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d\phi }{dt}={\frac {1}{1+{\tan }^{2}\phi }{\dfrac {x'y''-y'x''}{x'}^{2}={\frac {1}{1+{\left({\dfrac {y'}{x'}\right)^{2}{\dfrac {x'y''-y'x''}{x'}^{2}={\dfrac {x'y''-y'x''}{x'}^{2}+{y'}^{2}$

Kết hợp các kết quả thu được ta có:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}$

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số ${\displaystyle y=f(x)}$ thì độ cong được tính như sau:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}\right)^{2}\right]^{3/2}$

Xem thêm: Hệ tọa độ cực

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số ${\displaystyle r=r(\theta )}$ thì độ cong được tính như sau:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }\right)^{2}\right]^{3/2}$

Đường thẳng ${\displaystyle {\begin{cases}x=t\\y=at+b\end{cases}$ hay ${\displaystyle y=ax+b}$ sẽ có độ cong được tính như sau:

${\displaystyle x'=1,\quad x''=0,\quad y'=a,\quad y''=0,\quad {\dfrac {dy}{dx}=a,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}=0}$

Áp dụng công thức ta có:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}={\dfrac {1\cdot 0-a\cdot 0}{\left({1}^{2}+{a}^{2}\right)^{3/2}=0}$

hay công thức:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}\right)^{2}\right]^{3/2}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}=0}$

Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

Đường tròn ${\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{cases}$ hay ${\displaystyle r=R}$ sẽ có độ cong được tính như sau:

${\displaystyle x'=-R\sin t,\quad x''=-R\cos t,\quad y'=R\cos t,\quad y''=-R\sin t,\quad {\dfrac {dr}{d\theta }=0,\quad {\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}=0}$

Áp dụng công thức ta có:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}={\frac {1}{R}$

hay công thức:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }\right)^{2}\right]^{3/2}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}={\frac {1}{R}$

Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.

• Đường parabol ${\displaystyle y=ax^{2}$ sẽ có độ cong được tính như sau:

${\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}=2ax,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}=2a}$

Áp dụng công thức ta có:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}\right)^{2}\right]^{3/2}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}$

• Đường ellipse ${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}$ sẽ có độ cong được tính như sau:

${\displaystyle x'=-a\sin t,\quad x''=-a\cos t,\quad y'=b\cos t,\quad y''=-b\sin t}$

Áp dụng công thức ta có:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}$

${\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}\right)^{2}\right]^{3/2}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}{a^{2}\right)+{\dfrac {b^{2}{a^{2}x^{2}\right]^{3/2}$

${\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}{a^{2}\right)x^{2}\right]^{3/2}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}$

với ${\displaystyle e={\sqrt {1-{\dfrac {b^{2}{a^{2}$ là tâm sai của ellipse.

Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes ${\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$ được tính theo công thức

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}$

• Bán kính cong
• Đa tạp Riemann
• Hệ tọa độ Descartes
• Hệ tọa độ cực
• Hình học vi phân

John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds