泛函分析 中,得名于斯特凡·巴拿赫 的巴拿赫代数 是实数 或复数 (或非阿基米德 完备赋范 域)上的结合代数 A ,同时也是巴拿赫空间 ,即在范数导出的度量 中完备 的赋范空间 。范数要满足
‖
x
y
‖
≤
‖
x
‖
‖
y
‖
∀
x
,
y
∈
A
.
{\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad \forall x,y\in A.}
这确保了乘法运算连续 。
若巴拿赫代数对乘法有范数为1的单位元 ,则称其是含幺的(unital)。若其乘法是可交换 的,则称其可交换。任意巴拿赫代数A (无论有无单位元 )都可等距同构 地嵌入含幺巴拿赫代数
A
e
{\displaystyle A_{e}
,从而形成
A
e
{\displaystyle A_{e}
的闭 理想 。通常会先验地假设所考虑的代数是含幺的:因为可以先考虑
A
e
{\displaystyle A_{e}
,再在原始代数中应用结果,来发展许多理论。不过并非总如此,例如无法在巴拿赫代数中定义不含单位元的三角函数 。
实巴拿赫代数的理论可能异于复巴拿赫代数,例如非平凡复巴拿赫代数中元素的谱 不会是空的,而实巴拿赫代数中,某些元素的谱可能是空的。
巴拿赫代数也可以定义在P进数 域上。这是P进数分析 的一部分。
例子
巴拿赫代数的典型例子是
C
0
(
X
)
{\displaystyle C_{0}(X)}
,即定义在局部紧 豪斯多夫空间 X 上在无穷远处消失 的(复值)连续函数空间。当且仅当X 是紧空间 ,
C
0
(
X
)
{\displaystyle C_{0}(X)}
含幺。共轭复数 是对合 ,因此
C
0
(
X
)
{\displaystyle C_{0}(X)}
实际上是C*-代数 。更一般地说,C*-代数都是巴拿赫代数。
实数(或复数)集是巴拿赫代数,范数为绝对值 。
若给所有实数或复数n 阶方阵集合配备服从乘法范数 ,就成为含幺巴拿赫代数。
取巴拿赫空间
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}
(或
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}
),范数为
‖
x
‖
=
max
|
x
i
|
{\displaystyle \|x\|=\max _{}|x_{i}|}
,并定义乘法分量形式:
(
x
1
,
…
,
x
n
)
(
y
1
,
…
,
y
n
)
=
(
x
1
y
1
,
…
,
x
n
y
n
)
.
{\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).}
四元数 形成了4维实巴拿赫代数,范数为四元数的绝对值。
定义在某集合(具有逐点乘和上确 范数)上的有界实值或复值函数的代数是含幺巴拿赫代数。
某局部紧 空间(具有逐点乘和上确范数)上的有界连续 实值或复值函数的代数是巴拿赫代数。
巴拿赫空间E (以函数复合为乘法,以算子范数 为范数)上的连续线性算子的代数是含幺巴拿赫代数。E 上所有紧算子 的集合是巴拿赫代数,也是闭理想。若
dim
E
=
∞
{\displaystyle \dim E=\infty }
,则没有单位元。[ 1]
若G 是局部紧 豪斯多夫 拓扑群 ,
μ
{\displaystyle \mu }
是其哈尔测度 ,则G 上所有
μ
{\displaystyle \mu }
可积函数的巴拿赫空间
L
1
(
G
)
{\displaystyle L^{1}(G)}
在卷积
x
y
(
g
)
=
∫
x
(
h
)
y
(
h
−
1
g
)
d
μ
(
h
)
,
∀
x
,
y
∈
L
1
(
G
)
{\displaystyle xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h),\ \forall x,y\in L^{1}(G)}
下成为巴拿赫代数。[ 2]
一致代数:巴拿赫代数,是复代数
C
(
X
)
{\displaystyle C(X)}
的子代数,具有上确范数,包含常数并分离了X 的点(必须是紧豪斯多夫空间)。
自然巴拿赫函数代数:一致代数,其所有特征都在X 的点上取值。
C*-代数 :某希尔伯特空间 上有界算子的代数的闭*-子代数,是巴拿赫代数。
测度代数:包含某局部紧群上所有拉东测度 的巴拿赫代数,测度之积由卷积 给出。[ 2]
四元数 代数
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
是实巴拿赫代数,不是复代数,因为四元数的中心是实数。
仿射体代数(affinoid algebra)是非阿基米德域上的一种巴拿赫代数,是刚性解析几何的基本构件。
性质
一些由幂级数 定义的初等函数可在任意含幺巴拿赫代数中定义,如指数函数 和三角函数 ,及更一般的任意整函数 (特别地,指数映射可用于定义抽象索引群)。几何级数 公式在一般含幺巴拿赫代数中仍有效。二项式定理 对巴拿赫代数中两个交换元也成立。
任何含幺巴拿赫代数中的可逆元集合都是开集,其上的逆运算是连续的(因此是同胚),所以形成了乘法下的拓扑群 。[ 3]
若巴拿赫代数有幺元
1
{\displaystyle \mathbf {1} }
,则
1
{\displaystyle \mathbf {1} }
不可能是交换子 ;即
x
y
−
y
x
≠
1
,
∀
x
,
y
∈
A
{\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} ,\ \forall x,y\in A}
。这是因为
x
y
,
y
x
{\displaystyle xy,\ yx}
若不是
0
{\displaystyle 0}
,则具有相同的谱 。
上述例子给出的各种函数代数具有与标准代数(如实数)迥异的性质,例如:
是除代数的实巴拿赫代数同构于实数、复数或四元数。因此,只有是除代数的复巴拿赫代数是复形。(这就是盖尔范德-马祖尔定理)
没有零除子 的含幺实巴拿赫代数的主理想 都是闭 的,代数同构于实数、复数与四元数。[ 4]
没有零除子的交换实含幺诺特 巴拿赫代数同构于实数或复数。
交换实含幺诺特巴拿赫代数(可有零除子)是有限维的。
巴拿赫代数中的永久奇异元是零的拓扑除子,也就是说,考虑巴拿赫代数A 的扩张B ,使一些在给定代数A 中奇异的元素,在B 中有乘法逆元。A 中零的拓扑除子在A 的任意巴拿赫扩张B 中都是永久奇异的。
谱理论
复数域上的含幺巴拿赫代数为谱理论提供了一个一般环境。元素
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
的谱记作
σ
(
x
)
{\displaystyle \sigma (x)}
,包含所有使
x
−
λ
1
{\displaystyle x-\lambda \mathbf {1} }
在A 中不可逆的复标量
λ
{\displaystyle \lambda }
。任意元素x 的谱是
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
中半径为
‖
x
‖
{\displaystyle \|x\|}
、圆心在
0
{\displaystyle 0}
的闭圆盘的闭子集,于是也是紧 的。另外,元素x 的谱
σ
(
x
)
{\displaystyle \sigma (x)}
也非空,满足谱半径 公式:
sup
{
|
λ
|
:
λ
∈
σ
(
x
)
}
=
lim
n
→
∞
‖
x
n
‖
1
/
n
.
{\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}
给定
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
,全纯函数微积分允许为在
σ
(
x
)
{\displaystyle \sigma (x)}
的邻域全纯 的任意函数f 定义
f
(
x
)
∈
A
{\displaystyle f(x)\in A}
;此外,谱映射定理成立:[ 5]
σ
(
f
(
x
)
)
=
f
(
σ
(
x
)
)
.
{\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x)).}
若巴拿赫代数A 是复巴拿赫空间X 上的有界线性算子的代数
L
(
X
)
{\displaystyle L(X)}
(例如方阵的代数),则A 中的谱与算子理论 中的谱重合。对
f
∈
C
(
X
)
{\displaystyle f\in C(X)}
(紧豪斯多夫空间X ),可见:
σ
(
f
)
=
{
f
(
t
)
:
t
∈
X
}
.
{\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.}
C*-代数的正规元素x 的范数与谱半径重合,这推广了正规算子的类似事实。
令A 为复含幺巴拿赫代数,当中非零元x 都可逆(是除代数)。
∀
a
∈
A
{\displaystyle \forall a\in A}
,都有
λ
∈
C
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
使
a
−
λ
1
{\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} }
不可逆(因为a 的谱非空),于是
a
=
λ
1
:
{\displaystyle a=\lambda \mathbf {1} :}
代数A 自然同构于
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
(盖尔范德-马祖尔定理的复数情形)。
理想与特征
令A 为
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
上的含幺交换巴拿赫代数。由于A 是含幺交换环,A 的不可逆元属于A 的某极大理想。由于极大理想
m
∈
A
{\displaystyle {\mathfrak {m}\in A}
是闭的,
A
/
m
{\displaystyle A/{\mathfrak {m}
是巴拿赫代数且是域,且由盖尔范德-马祖尔定理,A 的最大理想集与非零同胚
A
→
C
{\displaystyle A\to \mathbb {C} }
集
Δ
(
A
)
{\displaystyle \Delta (A)}
之间有双射。集合
Δ
(
A
)
{\displaystyle \Delta (A)}
称作A 的“结构空间”或“特征空间”,元素为“特征”。
特征
χ
{\displaystyle \chi }
是A 上的线性泛函,是乘法函数(
χ
(
a
b
)
=
χ
(
a
)
χ
(
b
)
{\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)}
且满足
χ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \chi (\mathbf {1} )=1}
。)每个特征都是
A
→
C
{\displaystyle A\to \mathbb {C} }
且自动连续,因为特征的核是最大理想,是闭的;而且范数(即算子范数)为1。装备了A 上逐点收敛拓扑(即由
A
∗
{\displaystyle A^{*}
的弱*-拓扑诱导的拓扑)后,特征空间
Δ
(
A
)
{\displaystyle \Delta (A)}
是豪斯多夫紧空间。
∀
x
∈
A
,
{\displaystyle \forall x\in A,}
σ
(
x
)
=
σ
(
x
^
)
{\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x})}
q在
x
^
{\displaystyle {\hat {x}
是x 的盖尔范德表示,定义如下:
x
^
{\displaystyle {\hat {x}
是连续函数
Δ
(
A
)
→
C
{\displaystyle \Delta (A)\to \mathbb {C} }
,由
x
^
(
χ
)
=
χ
(
x
)
{\displaystyle {\hat {x}(\chi )=\chi (x)}
给出。
x
^
{\displaystyle {\hat {x}
的谱也是作为紧空间
Δ
(
A
)
{\displaystyle \Delta (A)}
上复连续函数的代数
C
(
Δ
(
A
)
)
{\displaystyle C(\Delta (A))}
的元素的谱。显式地写,
σ
(
x
^
)
=
{
χ
(
x
)
:
χ
∈
Δ
(
A
)
}
.
{\displaystyle \sigma ({\hat {x})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.}
作为代数,当且仅当含幺交换巴拿赫代数的盖尔范德表示具有平凡核,其是半单的(即其雅各布森根 为零)。这种代数的重要例子是交换C*-代数。事实上,若A 是交换含幺C*-代数,则其盖尔范德表示是
A
,
C
(
Δ
(
A
)
)
{\displaystyle A,\ C(\Delta (A))}
间的等距*-同构。[ a]
巴拿赫*-代数
巴拿赫*-代数A 是复数 域上的巴拿赫代数,以及映射
∗
:
A
→
A
{\displaystyle {}^{*}:A\to A}
,满足如下性质:
∀
x
∈
A
,
(
x
∗
)
∗
=
x
{\displaystyle \forall x\in A,\ \left(x^{*}\right)^{*}=x}
(于是映射是对合 )
∀
x
,
y
∈
A
,
(
x
+
y
)
∗
=
x
∗
+
y
∗
{\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}
∀
λ
∈
C
,
x
∈
A
,
(
λ
x
)
∗
=
λ
¯
x
∗
{\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,\ x\in A,\ (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }x^{*}
,其中
λ
¯
{\displaystyle {\bar {\lambda }
表示
λ
{\displaystyle \lambda }
的共轭复数
∀
x
,
y
∈
A
,
(
x
y
)
∗
=
y
∗
x
∗
{\displaystyle \forall x,y\in A,\ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}
也就是说,巴拿赫*-代数是
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
上的巴拿赫代数,也是*-代数 。
在大多数自然例子中,还需要对合是等距 的,即
‖
x
∗
‖
=
‖
x
‖
for all
x
∈
A
.
{\displaystyle \|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }x\in A.}
有人把这性质纳入了巴拿赫*-代数的定义。
巴拿赫*-代数满足
‖
x
∗
x
‖
=
‖
x
∗
‖
‖
x
‖
{\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}
是C*-代数 。
另见
注释
^ 证明:由于交换C*-代数的元素都是正规的,所以盖尔范德表示是等距的;特别是,其是单射,像是闭的。盖尔范德表示的像由魏尔施特拉斯逼近定理 是稠密的。
参考文献
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Takesaki, M. Theory of Operator Algebras I. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 124 1st. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. 1979. ISBN 978-3-540-42248-8 . ISSN 0938-0396 .
种类
阿斯普伦德空间
巴拿赫空间
巴拿赫格
格罗滕迪克空间
希尔伯特空间
(多项式)自反空间
里斯空间
L半内积
(B凸空间 )
严格凸空间
一致凸空间
一致光滑空间
(单射张量积
射影张量积 )拓扑张量积 (希尔伯特空间的张量积 )
巴拿赫空间是:
桶空间
完备拓扑向量空间
F空间
弗雷歇空间
局部凸拓扑向量空间
麦基空间
可度量化拓扑向量空间
赋范
拟赋范空间
函数空间拓扑 线性映射 算子理论 定理 分析
维纳空间
巴拿赫流形
博赫纳空间
凸级数
弗雷歇空间#微分
导数
积分
博赫纳积分
贝蒂斯积分#与邓福德积分的关系
贝蒂斯积分
正则化积分
佩利-维纳积分
泛函微积分
测度
弱可测函数 / 强可测函数
集合类型 子集 / 集合运算 示例 应用