牛顿-皮普斯问题 牛顿-皮普斯问题 是一个掷骰子的概率问题。塞缪尔·皮普斯 1693年向艾萨克·牛顿 咨询怎样在赌局中下注赢面更大,在信中他问道:下列三种情形哪一种概率最高:
A.6个正常的骰子独立投掷,至少出现1个6. B.12个正常的骰子独立投掷,至少出现2个6. C.18个正常的骰子独立投掷,至少出现3个6.[ 1]
概率解 利用二项分布 ,三个投掷实验的概率分别为:[ 2]
P ( A ) = 1 − ( 5 6 ) 6 = 31031 46656 ≈ 0.6651 , {\displaystyle P(A)=1-\left({\frac {5}{6}\right)^{6}={\frac {31031}{46656}\approx 0.6651\,,} P ( B ) = 1 − ∑ x = 0 1 ( 12 x ) ( 1 6 ) x ( 5 6 ) 12 − x = 1346704211 2176782336 ≈ 0.6187 , {\displaystyle P(B)=1-\sum _{x=0}^{1}{\binom {12}{x}\left({\frac {1}{6}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}\right)^{12-x}={\frac {1346704211}{2176782336}\approx 0.6187\,,} P ( C ) = 1 − ∑ x = 0 2 ( 18 x ) ( 1 6 ) x ( 5 6 ) 18 − x = 15166600495229 25389989167104 ≈ 0.5973 . {\displaystyle P(C)=1-\sum _{x=0}^{2}{\binom {18}{x}\left({\frac {1}{6}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}\right)^{18-x}={\frac {15166600495229}{25389989167104}\approx 0.5973\,.} 该类问题的通项公式,一般的,若P(N )是投掷6n 个骰子得到至少n 个6的概率,则:
P ( N ) = 1 − ∑ x = 0 n − 1 ( 6 n x ) ( 1 6 ) x ( 5 6 ) 6 n − x . {\displaystyle P(N)=1-\sum _{x=0}^{n-1}{\binom {6n}{x}\left({\frac {1}{6}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}\right)^{6n-x}\,.} n 变大时,P(N )会逐渐趋近于极限值1/2.
编程计算法 在R语言 中,该问题可以用如下方法解:
p <- as.numeric ( 1 / 6 )
s <- c ( 1 , 2 , 3 )
for ( i in s )
{
x <- 0
n <- 6 * i
for ( j in 0 : ( i -1 )) { x <- x + dbinom ( j , n , p ) }
print ( paste ( "Probability of at least " , i , " six in " , n , " fair dice: " , 1 - x , sep = "" ))
}
结果会显示为:
[ 1 ] "Probability of at least 1 six in 6 fair dice: 0.665102023319616"
[ 1 ] "Probability of at least 2 six in 12 fair dice: 0.618667373732309"
[ 1 ] "Probability of at least 3 six in 18 fair dice: 0.597345685947723"
牛頓的解释 牛頓設想將B和C的骰子每六粒分為一組,A只可分為一組;B和C分別可分成兩組和三組,每組需要在其中一次投擲中出現6。如此可見,A的機率是最大的,因为A只需要在其中一次投擲中出現6,而B和C則分别需要重复A的過程两次和三次。
参考文献
科學著作 《流数法 》(1671) 《物體在軌道中之運動 》(1684) 《自然哲学的数学原理 》(1687) 《光学 》(1704) 《The Queries 》(1704) 《廣義算術 》(1707) 《用無窮級數做數學分析 》(1711) 其它著作 《若干哲學問題 》(1661–1665) 《站在巨人的肩膀上 》(1675) 《Notes on the Jewish Temple 》(約1680) 《總釋 》(1713;《不作假设 》) 《古王國年表,修訂 》(1728) 《两处著名圣经讹误的历史变迁 》(1754) 貢獻 牛頓主義 個人 人際關係 凱瑟琳·巴頓 (侄女) 約翰·孔杜伊特 (姪女婿) 艾萨克·巴罗 (指導教授) 威廉·克拉克 (指導者) Benjamin Pulleyn (導師) 约翰·基尔 (徒弟) 威廉・斯圖凱利 (好友) 威廉·琼斯 (好友) 亚伯拉罕·棣莫弗 (好友) 罗伯特·胡克 (仇敵)描繪 《牛顿 》(單版畫) 《牛顿 》(雕塑) 《艾薩克·牛頓雨漏 》 《天文學家紀念碑 》 相關 分類
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