電位移

在電磁學裏，電位移(Electric Displacement field)是出現於馬克士威方程組的一種向量場，可以用來解釋介電質內自由電荷所產生的效應。電位移${\displaystyle \mathbf {D} }$以方程式定義為^[1]

${\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$；

其中，${\displaystyle \varepsilon _{0}$是電常數，${\displaystyle \mathbf {E} }$是電場，${\displaystyle \mathbf {P} }$是電極化強度。

高斯定律表明，電場的散度等於總電荷密度${\displaystyle \rho _{total}$除以電常數：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{total}/\varepsilon _{0}$。

電極化強度的散度等於負束縛電荷密度${\displaystyle -\rho _{bound}$：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{bound}$。

而總電荷密度等於束縛電荷密度加上自由電荷密度${\displaystyle \rho _{free}$：

${\displaystyle \rho _{total}=\rho _{free}+\rho _{bound}$。

所以，電位移的散度等於自由電荷密度${\displaystyle \rho _{free}$：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{free}$。

這與高斯定律的方程式類似。假設，只給定自由電荷密度${\displaystyle \rho _{free}$，或許可以用高斯方法來計算電位移${\displaystyle \mathbf {D} }$。但是，在這裏，不能使用這方法。只知道自由電荷密度${\displaystyle \rho _{free}$，有時候仍舊無法計算出電位移。思考以下關係式：

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {D} =\varepsilon _{0}(\nabla \times \mathbf {E} )+(\nabla \times \mathbf {P} )}$。

並根據法拉第感應定律：${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\dot {\mathbf {B} }$ , 其中${\displaystyle {\dot {\mathbf {B} }$是磁場相對於時間的變化率

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {D} +\varepsilon _{0}{\dot {\mathbf {B} }=\nabla \times \mathbf {P} }$

假設電磁場為不含時變電磁場（即與時間無關的電磁場），${\displaystyle {\dot {\mathbf {B} }=0}$，則

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {D} =\nabla \times \mathbf {P} }$。

假若${\displaystyle \nabla \times \mathbf {P} \neq 0}$，則雖然設定${\displaystyle \rho _{free}=0}$，電位移仍舊不等於零：${\displaystyle \mathbf {D} \neq 0}$！

舉例而言，擁有固定電極化強度${\displaystyle \mathbf {P} }$的永電體，其內部不含有任何自由電荷，但是內在的電極化強度${\displaystyle \mathbf {P} }$會產生電場。

只有當問題本身具有某種對稱性，像球對稱性或圓柱對稱性等等，才能夠直接使用高斯方法，從自由電荷密度計算出電位移與電場。否則，必需將電極化強度${\displaystyle \mathbf {P} }$和邊界條件納入考量。

「線性電介質」，對於外電場的施加，會產生線性響應。例如，鐵電材料是非線性電介質。假設線性電介質具有各向同性，則其電場與電極化強度的關係式為^[2]

${\displaystyle \mathbf {P} =\chi _{e}\varepsilon _{0}\mathbf {E} }$；

其中，${\displaystyle \chi _{e}$是電極化率。

將這關係式代入電位移的定義式，可以得到

${\displaystyle \mathbf {D} =(1+\chi _{e})\varepsilon _{0}\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E} }$；

其中，${\displaystyle \varepsilon }$是電容率。

所以，電位移與電場成正比；其比率是電容率。另外，

${\displaystyle \nabla \cdot (\varepsilon \mathbf {E} )=\rho _{free}$。

假設這電介質具有均勻性，則電容率${\displaystyle \varepsilon }$是常數：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{free}/\varepsilon }$。

定義相對電容率${\displaystyle \varepsilon _{r}$為

${\displaystyle \varepsilon _{r}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}\ \varepsilon /\varepsilon _{0}$。

相對電容率與電極化率有以下的關係：

${\displaystyle \varepsilon _{r}=1+\chi _{e}$。

要注意的一点是，上式${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$的描述只是一种近似关系，当${\displaystyle \mathbf {E} }$变得很大时，${\displaystyle \mathbf {D} }$与${\displaystyle \mathbf {E} }$就不再成正比关系了。这主要是由于电介质物质的物理特性是很复杂的。也可以理解为，这个式子就像胡克定律一样，只是一种近似。

各向異性線性電介質的電容率是個張量。例如，晶體的電容率通常必需用張量來表示。

如右圖所示，平行板電容器是由互相平行、以空間或電介質相隔的兩片平板導體構成的電容器。假設上下兩片平板導體分別含有負電荷與正電荷，含有的電荷量分別為${\displaystyle -Q}$、${\displaystyle +Q}$。又假設兩片平板導體之間的間隔距離超小於平板的長度與寬度，則可以視這兩片平板導體為無限平面；做簡單計算時，不必顧慮邊緣效應。由於系統的對稱性，可以應用高斯定律來計算電位移，其方向必定是從帶正電平板導體指向帶負電平板導體，而且垂直於平板導體；又由於平板導體含有的電荷是自由電荷，不需要知道電介質的性質，就可以應用關於自由電荷的高斯定律來計算電位移。

先計算帶正電平板導體所產生的電位移。試想一個扁長方形盒子，其頂面和底面分別在這平板導體的兩邊，平行於平板導體；而盒子的其它四個側面都垂直於平板導體。根據關於自由電荷的高斯定律，

${\displaystyle \oint _{\mathbb {S} }\mathbf {D} _{+}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =Q}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {S} }$是扁長方形盒子的閉合表面，${\displaystyle \mathbf {D} _{+}$是帶正電平板導體所產生的電位移，${\displaystyle d\mathbf {a} }$是微小面元素。

由於扁長方形盒子的四個側面的面向量都與${\displaystyle \mathbf {D} _{+}$向量相垂直，它們對於積分的貢獻是零；只有盒子的頂面和底面對於積分有貢獻：

${\displaystyle 2D_{+}A=Q}$ ;

其中，${\displaystyle A}$是盒子頂面、底面的面積。

所以，${\displaystyle \mathbf {D} _{+}$向量的方向是從帶正電平板導體垂直地向外指出，大小為

${\displaystyle D_{+}=Q/2A}$。

類似地，可以計算出帶負電平板導體所產生的電位移；${\displaystyle \mathbf {D} _{-}$向量的方向是垂直地指向帶負電平板導體，大小為

${\displaystyle D_{-}=Q/2A}$。

應用疊加原理，可以計算這兩片帶電平板導體一起產生的電位移。在這兩片平板導體之間，${\displaystyle \mathbf {D} _{+}$和${\displaystyle \mathbf {D} _{-}$的方向相同；應用疊加原理，電位移的大小等於平板導體的表面電荷密度：${\displaystyle D=Q/A}$。在兩片平板導體的共同上方或共同下方，${\displaystyle \mathbf {D} _{+}$和${\displaystyle \mathbf {D} _{-}$的方向相反；應用疊加原理，電位移的大小等於零。

假設電介質的電容率為${\displaystyle \varepsilon }$，則在兩片平板導體之間，電場的大小為

${\displaystyle E=D/\varepsilon =Q/\varepsilon A}$。

假設兩片平板導體的間隔距離為${\displaystyle d}$，則電壓${\displaystyle V}$為

${\displaystyle V=Ed=Qd/\varepsilon A}$。

這平行板電容器的電容${\displaystyle C}$為

${\displaystyle C=Q/V=\varepsilon A/d}$。

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